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2次方程式の解の公式の拡張について

実数a，b，cを係数にもつ2次方程式

ax2+bx+c=0

を解くことを考える． \FTEXT 数学Iで学んだときには，解を実数の範囲でしか考えていなかったが，ここではより広く複素数の範囲で 解を考えることにする．

(1)を変形していくと

ax2+bx+c=0⇔ x2+bax+ca=0⇔ (x+b2a)2−b24a2+ca=0⇔ (x+b2a)2=b2−4ac4a2

複素数の範囲では負の数の平方根も求められるので，b2−4acの符号が何であっても

x+b2a=±√b2−4ac2a

と表せ，x=−b±√b2−4ac2aとなる．

2次方程式の解の公式の拡張

実数a，b，cを係数にもつ2次方程式ax2+bx+c=0の解は （b2−4acの値の符号が何であっても）

x=−b±√b2−4ac2a

と表せる．

2次方程式の複素数の範囲での解

次の2次方程式を解け．

  1. 2x2+5x+1=0
  2. 3x2−2x+2=0
  3. √2x2+4x+3√2=0
  4. (√3−1)x2−2x+3√3+3=0

  1. 2次方程式の解の公式より

    x=−5±√52−4⋅2⋅12⋅2=−5±√174

  2. 2次方程式の解の公式より

    x=1±√(−1)2−3⋅23=1±√5i3

  3. 両辺に√2を掛けると

    ⇔ 2x2+4√2x+6=0⇔ x2+2√2x+3=0

    であるから，2次方程式の解の公式より

    x=−√2±√(√2)2−1⋅31=−√2±i

  4. 両辺に(√3+1)を掛けると

    ⇔ (√3−1)(√3+1)x2−2(√3+1)x(√3−1)(√3+1)x2+(3+3√3)(√3+1)=0⇔ 2x2−2(√3+1)x+3(√3+1)2=0

    であるから，2次方程式の解の公式より

    x= (√3+1)2±√(√3+1)2−2⋅3(√3+1)22= (√3+1)2(1±√5i)