2次方程式の解の公式の拡張

2次方程式の解の公式の拡張について

実数$a，b，c$を係数にもつ2次方程式

\begin{align} ax^2+bx+c=0 \end{align}

$\tag{1}\label{2zihouteisikikainokousikinokakutyou}$

を解くことを考える． \FTEXT 数学Iで学んだときには，解を実数の範囲でしか考えていなかったが，ここではより広く複素数の範囲で 解を考えることにする．

$\eqref{2zihouteisikikainokousikinokakutyou}$を変形していくと

\begin{align} &ax^2+bx+c=0\\ \Leftrightarrow~&x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0\\ \Leftrightarrow~&\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}=0\\ \Leftrightarrow~&\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2} \end{align}

複素数の範囲では負の数の平方根も求められるので，$b^2 − 4ac$の符号が何であっても

\begin{align} &x+\dfrac{b}{2a}=\pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{align}

と表せ，$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$となる．

2次方程式の解の公式の拡張

実数$a，b，c$を係数にもつ2次方程式$ax^2 + bx + c = 0$の解は （$b^2 − 4ac$の値の符号が何であっても）

\begin{align} x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{align}

と表せる．

2次方程式の複素数の範囲での解

次の2次方程式を解け．

  1. $2x^2 + 5x + 1 = 0 $
  2. $3x^2 − 2x + 2 = 0 $
  3. $\sqrt{2}x^2+4x+3\sqrt{2}=0$
  4. $(\sqrt{3}-1)x^2-2x+3\sqrt{3}+3=0 $

  1. 2次方程式の解の公式より

    \begin{align} x&=\dfrac{-5\pm \sqrt{5^2-4\cdot 2\cdot 1}}{2\cdot 2}\\ &=\boldsymbol{\dfrac{-5\pm\sqrt{17}}{4}} \end{align}

  2. 2次方程式の解の公式より

    \begin{align} x&=\dfrac{1\pm \sqrt{(-1)^2-3\cdot 2}}{3}\\ &=\boldsymbol{\dfrac{1\pm\sqrt{5}i}{3}} \end{align}

  3. 両辺に$\sqrt{2}$を掛けると

    \begin{align} &{\Leftrightarrow~}2x^2+4\sqrt{2}x+6=0\\ &{\Leftrightarrow~}x^2+2\sqrt{2}x+3=0 \end{align}

    であるから，2次方程式の解の公式より

    \begin{align} x&=\dfrac{-\sqrt{2}\pm\sqrt{\left(\sqrt{2}\right)^2-1\cdot 3}}{1}\\ &=\boldsymbol{-\sqrt{2}\pm i} \end{align}

  4. 両辺に$\left(\sqrt{3}+1\right)$を掛けると

    \begin{align} &{\Leftrightarrow~}\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)x^2\\ &-2\left(\sqrt{3}+1\right)x\\ &{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)x^2}\\ &+\left(3+3\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}+1\right)=0\\ &{\Leftrightarrow~}2x^2-2\left(\sqrt{3}+1\right)x\\ &+3\left(\sqrt{3}+1\right)^2=0 \end{align}

    であるから，2次方程式の解の公式より

    \begin{align} x=&\ \dfrac{\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\\ &\pm\dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2-2\cdot 3\left(\sqrt{3}+1\right)^2}}{2}\\ =&\ \boldsymbol{\dfrac{\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\left(1\pm\sqrt{5}i\right)} \end{align}

2次方程式の判別式

2次方程式$ax^2 + bx + c = 0$について，\FTEXT 数学Iでは

  1. $ D = b^2 − 4ac \gt 0$のとき，2つの異なる解をもつ．
  2. $ D = b^2 − 4ac = 0$のとき，重解をもつ．
  3. $ D = b^2 − 4ac \lt 0$のとき，解は存在しない．

と学んだが，解を複素数の範囲まで拡張して考えるならば，次のようにまとめられる．

2次方程式の判別式

2次方程式$ax^2 + bx + c = 0$の判別式$D = b^2 − 4ac$について

  1. $ D = b^2 − 4ac \gt 0$のとき，異なる2つの実数解をもつ．
  2. $ D = b^2 − 4ac = 0$のとき，重解（実数解） をもつ．
  3. $ D = b^2 − 4ac \lt 0$のとき，異なる2つの虚数解をもつ．

となる．

解の判別

次の2次方程式の解を判別せよ．

  1. $x^2 − 4x + 2a + 1 = 0 $
  2. $ x^2 + (a − 1)x − a + 3 = 0 $

  1. 判別式を$D$とすると

    \begin{align} \dfrac{D}{4}=(-2)^2-(2a+1)=3-2a \end{align}
    1. $ \dfrac{D}{4} \gt 0$，すなわち$a\lt\dfrac{3}{2}$のとき，異なる2つの実数解をもつ．
    2. $\dfrac{D}{4}=0$，すなわち$a=\dfrac{3}{2}$のとき，重解をもつ．
    3. $\dfrac{D}{4} \lt 0$，すなわち$a\gt\dfrac{3}{2}$のとき，異なる2つの虚数解をもつ．

  2. 判別式を$D$とすると

    \begin{align} D&=(a-1)^2-4(-a+3)\\ &=a^2+2a-11 \end{align}

    $y = a^2 + 2a – 11$のグラフは右図のようであるから

    1. $ D \gt 0$，すなわち$a\lt-1-2\sqrt{3}，-1+2\sqrt{3}\lt a$のとき，異なる2つの実数解をもつ．
    2. $ D = 0$，すなわち$a=-1\pm 2\sqrt{3}$のとき，重解をもつ．
    3. $D \lt 0$，すなわち$-1-2\sqrt{3}\lt a\lt-1+2\sqrt{3}$のとき，異なる2つの虚数解をもつ．