相加平均と相乗平均の関係

$n = 2$ のときの相加平均と相乗平均の式は，それぞれ

\begin{align} \dfrac{a_1+a_2}{2}~,~~\sqrt{a_1a_2} \end{align}

である．

いま， $\dfrac{a_1+a_2}{2}-\sqrt{a_1a_2}$ を計算していくと

\begin{align} &\qquad\dfrac{a_1+a_2}{2}-\sqrt{a_1a_2} \\ &=\dfrac{a_1-2\sqrt{a_1a_2}+a_2}{2}\\ &=\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{a_1}-\sqrt{a_2}\ \right)^2\geqq0 \end{align}

より

\begin{align} \dfrac{a_1+a_2}{2}\geqq\sqrt{a_1a_2} \end{align}

すなわち，相加平均は相乗平均以上であることがわかる．

一般には次のような関係が成り立つ．

相加平均と相乗平均の関係

$n$ 個の $0$ 以上の数 $a_1,~a_2,~\cdots,~a_n$ において，相加平均$\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$ と 相乗平均 $\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$ の間には，次のような関係が成り立つ．

\begin{align} \dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\geqq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n} \end{align}

等号が成立するのは， $a_1=a_2=\cdots=a_n$ のときである．

特に， $n = 2$ のときは

\begin{align} \dfrac{a_1+a_2}{2}\geqq\sqrt{a_1a_2} \end{align}　　　

（等号成立は $a_1=a_2$ ,）

であり， $n = 3$ のときは

\begin{align} \dfrac{a_1+a_2+a_3}{3}\geqq\sqrt[3]{a_1a_2a_3} \end{align}　　　

（等号成立は $a_1=a_2=a_3$ ,）

である．

吹き出し相加平均と相乗平均の関係

相加平均と相乗平均の関係式は，分母をはらった

\begin{align} a+b\geqq2\sqrt{ab} \end{align}

の形で使われることが多い． 左辺の和 $a + b$ と，右辺の積 $ab$ の間の関係を与えたものだということに注目しよう．

暗記3文字の場合の相加平均と相乗平均の関係の証明

等式

\begin{eqnarray} &&x^3+y^3+z^3-3xyz\\ &=&(x+y+z)(x^2+y^2+z^2\\ &&\qquad\qquad\qquad-xy-yz-zx) \end{eqnarray}

$\qquad\tag{1}\label{anki3mozinobaai} $

が成り立つことを利用して， $a_1\geqq0，a_2\geqq0，a_3\geqq0$ のとき

\begin{align} \frac{a_1+a_2+a_3}{3}\geqq\sqrt[3]{a_1a_2a_3} \end{align}

を証明せよ．また，等号が成立する条件も求めよ．

$x=\sqrt[3]{a_1}，y=\sqrt[3]{a_2}，z=\sqrt[3]{a_3}$ とおくと，

$x\geqq0，y\geqq0，z\geqq0$ で，

$x^3+y^3+z^3=a+b+c,$

$xyz=\sqrt[3]{a_1}\sqrt[3]{a_2}\sqrt[3]{a_3}=\sqrt[3]{a_1a_2a_3}$ である．

$\eqref{anki3mozinobaai}$において

\begin{align} &\quad x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\\ &=\dfrac{1}{2}\left\{(x-y)^2+(y-z)^2\right.\\ &\qquad\qquad\qquad\left.+(z-x)^2\right\}\geqq0 \end{align}　　　　　$\blacktriangleleft$ 実数の平方

であり

\begin{align} x+y+z\geqq0 \end{align}

であるから

\begin{align} &x^3+y^3+z^3\geqq3xyz\\ &\Leftrightarrow~\dfrac{x^3+y^3+z^3}{3}\geqq xyz \end{align}

よって

\begin{align} \dfrac{a_1+a_2+a_3}{3}\geqq\sqrt[3]{a_1a_2a_3} \end{align}

また，等号が成立するのは $x = y = z，$ すなわち $a1 = a2 = a3$ のとき.

一般の場合の証明は，付録一般の場合の相加平均と相乗平均の関係を参照のこと．

相加平均と相乗平均の関係を利用した不等式の証明

ただし， $x > 0，y > 0，z > 0$ とする．

  1. $x+\dfrac{1}{x}\geqq 2 $
  2. $x+\dfrac{9}{x+2}\geqq 4$
  3. $\left(x+\dfrac{1}{y}\right)\left(y+\dfrac{4}{x}\right)\geqq 9$
  4. $(x+y)(y+z)(z+x)\geqq 8xyz $

  1. $ x>0,\dfrac{1}{x}>0$ であるから，相加平均と相乗平均の関係より

    $\blacktriangle x$と$\dfrac{1}{x}$をかけると約分され定数になることに着目した

    \begin{align} x+\dfrac{1}{x}\geqq 2\sqrt{x\cdot\dfrac{1}{x}}=2 \end{align}

    また，等号が成立するのは $x=\dfrac{1}{x}$ ，すなわち $x = 1$ のときである． $\blacktriangleleft x > 0$ である

  2. $x + 2 > 0，\dfrac{1}{x+2}>0$ であるから，相加平均と相乗平均の関係より

    $\blacktriangle$ (1)のような形にもちこみたいため， $x$ ではなく $x + 2$ をかたまりとして考えてみる.

    \begin{align} &(x+2)+\dfrac{9}{(x+2)}\\ &\geqq 2\sqrt{(x+2)\cdot\dfrac{9}{x+2}}=6 \end{align}

    よって， $x+\dfrac{9}{(x+2)}\geqq 4$ となる．

    また，等号が成立するのは $x+2=\dfrac{9}{x+2}$ ，すなわち

    \begin{align} &(x+2)^2=9 \\ \Leftrightarrow~&(x+5)(x-1)=0\\ \therefore~&x=1 \end{align} $\blacktriangleleft x > 0$ である

    のときである．

  3. $ x > 0，\dfrac{1}{x}>0，y > 0，\dfrac{1}{y}>0$であるから， 相加平均と相乗平均の関係より

    \begin{align} & \left(x+\dfrac{1}{y}\right)\left(y+\dfrac{4}{x}\right) \\ &=xy+\dfrac{4}{xy}+1+4 \\ &\geqq 2\sqrt{xy\cdot\dfrac{4}{xy}}+1+4=9 \end{align} $\blacktriangleleft xy$ と $\dfrac{1}{xy}$ をかけると約分されて定数になるような形があらわれた

    また，等号が成立するのは， $xy=\dfrac{4}{xy}$ ，すなわち

    \begin{align} &x^2y^2=4 \\ \therefore~&xy=2 \end{align} $\blacktriangleleft x > 0，y > 0$ より， $xy > 0$ である

    のときである．

  4. $x > 0，y > 0，z > 0$ であるから，相加平均と相乗平均の関係より

    \begin{align} &x+y\geqq 2\sqrt{xy}\\ &y+z\geqq 2\sqrt{yz}\\ &z+x\geqq 2\sqrt{zx} \end{align}

    であるから，辺々を掛け合わせて

    （左辺）

    \begin{align} &\geqq (2\sqrt{xy})(2\sqrt{yz})(2\sqrt{zx})\\ &=8xyz \end{align}

    また，等号が成立するときは $x = y，y = z，z = x$ ，すなわち $x = y = z$ のときである．

相加平均と相乗平均の関係は，上の例題で見たような不等式の証明だけでなく，次の例題でみるように最小値を求める際にも利用できる．

相加平均と相乗平均の関係を利用して最小値を求める

次の関数の最小値を求めよ．

  1. $f(x)=x+\dfrac{1}{x}~~~(x>0) $
  2. $f(x,~y)=\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}~~~(x>0,~y>0)$

  1. $ x > 0$より$\dfrac{1}{x}>0$であるから，相加平均と相乗平均の関係より

    \begin{align} x+\dfrac{1}{x}\geqq2\sqrt{x\cdot\dfrac{1}{x}}=2 \end{align}

    $\blacktriangle$ ここまででいえたことは $f(x)\geqq2$ である

    等号が成り立つのは $x=\dfrac{1}{x}$ ，すなわち

    \begin{align} &x^2=1 \\ \therefore~~ &x=1 \end{align} $\blacktriangleleft x > 0$ である

    以上より，最小値は $f(1)=\boldsymbol{2}$ とわかる．

    $\blacktriangle$ 等号が成立する $x$ の存在がわかって初めて最小値といえる.

  2. $\dfrac{y}{x}>0~,~~\dfrac{x}{y}>0$ であるから，相加平均と相乗平均の関係より

    \begin{align} &\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}\geqq2\sqrt{\dfrac{y}{x}\cdot\dfrac{x}{y}}=2 \end{align}

    $\blacktriangle$ ここまででいえたことは $f(x,~y)\geqq2$ である

    等号が成り立つのは $\dfrac{y}{x}=\dfrac{x}{y}$ のとき．これを計算していくと

    \begin{align} &x^2=y^2\\ \Leftrightarrow~&x^2-y^2=0\\ \Leftrightarrow~&(x-y)(x+y)=0 \end{align}

    $x > 0，y > 0$ なので， $x+y\neq0$ であるから， $x = y$ となる．

    以上より，最小値は $f(x,x)=\boldsymbol{2}$ とわかる．

    $\blacktriangle$ 等号が成立する $x$ と $y $ の存在がわかって初めて最小値といえる.

吹き出し相加平均と相乗平均の関係

相加平均と相乗平均の関係を使って最小値を求める方法は

  1. 関数がある値以上であることを示し（不等式の証明）
  2. その関数がある値になることを示す（等号成立条件）

という2つのプロセスから成り立っていることに注意しよう．