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相乗平均とは何か

(注)

2つの 0 以上の数 a1a2 について, a1a2 をかけて平方根をとった値,すなわち a1a2 は, a1a2平均になっている.以下でそのことを確かめてみよう.

a1a20 を満たす数とすると,不等式の性質より

\begin{align} a_1\cdot a_1\leqq a_1\cdot a_2 \ , \ \ a_1\cdot a_2\leqq a_2\cdot a_2 \end{align}

が成り立つので

\begin{align} &a_1\cdot a_1\leqq a_1\cdot a_2\leqq a_2\cdot a_2 \\ \therefore~ &\sqrt{{a_1}^2}\leqq\sqrt{a_1a_2}\leqq\sqrt{{a_2}^2} \\ \therefore~ &a_1\leqq\sqrt{a_1a_2}\leqq a_2 \end{align}      ← 平方による比較

となり, \sqrt{a_1a_2}a_1a_2の平均になっているのがわかる.

このような平均のとり方を相乗平均という.

3つの正の数 a_1,a_2,a_3 の場合の相乗平均は, \sqrt[3]{a_1a_2a_3} となる. ここで, \sqrt[3]{a}a の3乗根といい,3乗すると a となる数を表す. 一般の n 乗根については累乗根を参照のこと.

相乗平均について,一般には次のようにまとめられる.

相乗平均

n 個の 0 以上の数 a_1,~a_2,~\cdots,~a_n において

\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}

を, a_1,~a_2,~\cdots,~a_n相乗平均(geometric mean)という.

特に, n = 2 のとき \sqrt{a_1a_2} であり, n = 3 のとき \sqrt[3]{a_1a_2a_3} である.

相乗平均

次の値の相乗平均を求めよ.

  1. 2~,~~8
  2. 1~,~~3~,~~9

  1. \sqrt{2\cdot 8}=\sqrt{16}=\boldsymbol{4}

  2. \sqrt[3]{1\cdot 3\cdot 9}=\sqrt[3]{27}=\boldsymbol{3}