相乗平均とは何か
2つの 0 以上の数 a1,a2 について, a1 と a2 をかけて平方根をとった値,すなわち √a1a2 は, a1 と a2 の平均になっている.以下でそのことを確かめてみよう.
a1,a2 を 0≦ を満たす数とすると,不等式の性質より
\begin{align} a_1\cdot a_1\leqq a_1\cdot a_2 \ , \ \ a_1\cdot a_2\leqq a_2\cdot a_2 \end{align}が成り立つので
\begin{align} &a_1\cdot a_1\leqq a_1\cdot a_2\leqq a_2\cdot a_2 \\ \therefore~ &\sqrt{{a_1}^2}\leqq\sqrt{a_1a_2}\leqq\sqrt{{a_2}^2} \\ \therefore~ &a_1\leqq\sqrt{a_1a_2}\leqq a_2 \end{align} ← 平方による比較となり, \sqrt{a_1a_2} はa_1 と a_2の平均になっているのがわかる.
このような平均のとり方を相乗平均という.
3つの正の数 a_1,a_2,a_3 の場合の相乗平均は, \sqrt[3]{a_1a_2a_3} となる. ここで, \sqrt[3]{a} は a の3乗根といい,3乗すると a となる数を表す. 一般の n 乗根については累乗根を参照のこと.
相乗平均について,一般には次のようにまとめられる.
相乗平均
n 個の 0 以上の数 a_1,~a_2,~\cdots,~a_n において
\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}を, a_1,~a_2,~\cdots,~a_n の相乗平均(geometric mean)という.
特に, n = 2 のとき \sqrt{a_1a_2} であり, n = 3 のとき \sqrt[3]{a_1a_2a_3} である.
相乗平均
次の値の相乗平均を求めよ.
- 2~,~~8
- 1~,~~3~,~~9
\sqrt{2\cdot 8}=\sqrt{16}=\boldsymbol{4}
\sqrt[3]{1\cdot 3\cdot 9}=\sqrt[3]{27}=\boldsymbol{3}