$3^{\frac{1}{2}}$の意味

$3^{\frac12}$の意味

今度は，整数に拡張された指数法則2. を使って，指数を有理数に拡張することを考えよう．

たとえば，指数部分が有理数$\dfrac{1}{2}$である，$3^{\frac{1}{2}}$という数の意味は何だろうか． $3^2$が「$3$を$2$回かけた数」であったから，$3^{\frac{1}{2}}$は「$3$を$\dfrac{1}{2}$回かけた数」とでもなるのであろうが， 「$\dfrac{1}{2}$回かける」では意味不明である．

そこで，やはり「指数なのだから指数法則を満たすだろう」と考え，その体系の中で矛盾を生じないように考えていくことにする．

たとえば，($3^\frac{1}{2})^2$という数があったとして，これが整数に拡張された指数法則2. を満たすとすると

\begin{align} \left(3^\frac{1}{2}\right)^2=3^{\frac{1}{2}\times2}=3^1 \end{align}

となる．ここで，$3^\frac{1}{2}$を$X$で表すと

\begin{align} X^2=3 \end{align}

となる．この式を満たす$X$は，$3$の平方根であるから，$3^\frac{1}{2}$は$\sqrt{3}$であると考えられる （もうひとつの平方根$-\sqrt{3}$は$-3^\frac{1}{2}$であると考えればよい）．