接線・法線の方程式

1. まず、$f(x)=x^3-x$ とおくと \[f(2)=2^3-2=6\] であるから曲線上の点の座標は $(2,~6)$ とわかる。また、$f'(x)=3x^2-1$ より \[f'(2)=3\cdot2^2-1=11\] 以上より、求める接線の方程式は \begin{align} &y=11(x-2)+6\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{y=11x-16} \end{align} 法線の方程式は \begin{align} &y=-\dfrac{1}{11}(x-2)+6\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{11}x+\dfrac{68}{11}} \end{align}
2. まず、$f(x)=-2x^3+x^2$ とおくと \[f(-1)=-2(-1)^3+(-1)^2=3\] であるから曲線上の点の座標は $(-1,~3)$ とわかる。また、$f'(x)=-6x^2+2x$ より \[f'(-1)=-6(-1)^2+2(-1)=-8\] 以上より、求める接線の方程式は \begin{align} &y=-8(x+1)+3\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{y=-8x-5} \end{align} 法線の方程式は \begin{align} &y=\dfrac{1}{8}(x+1)+3\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{y=\dfrac{1}{8}x+\dfrac{25}{8}} \end{align}
3. まず、$f(x)=-x^4+2x^3$ とおくと \[f(-2)=-(-2)^4+2(-2)^3=0\] であるから曲線上の点の座標は $(-2,~0)$ とわかる。また、$f'(x)=4x^3+6x^2$ より \[f'(-2)=4(-2)^3+6(-2)^2=-8\] 以上より、求める接線の方程式は \begin{align} &y=-8(x+2)+0\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{y=-8x-16} \end{align} 法線の方程式は \begin{align} &y=\dfrac{1}{8}(x+2)+0\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{y=\dfrac{1}{8}x+\dfrac{1}{4}} \end{align}
4. まず、$f(x)=-x^5$ とおくと \[f(1)=-1^5=-1\] であるから曲線上の点の座標は $(1,~-1)$ とわかる。また、$f'(x)=-5x^4$ より \[f'(1)=-5\cdot1^4=-5\] 以上より、求める接線の方程式は \begin{align} &y=-5(x-1)-1\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{y=-5x+4} \end{align} 法線の方程式は \begin{align} &y=\dfrac{1}{5}(x-1)-1\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{y=\dfrac{1}{5}x-\dfrac{6}{5}} \end{align}

1. まず、$f(x)=x^2-3x+2$ とおくと、$f'(x)=2x-3$。傾きが $3$ より \begin{align} &2x-3=3\\ \Leftrightarrow~&x=3 \end{align} また、$f(3)=3^2-3\cdot3+2=2$ より、接点の座標は $(3,~2)$。

   よって、求める接線の方程式は \begin{align} &y=3(x-3)+2\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{y=3x-7} \end{align}

2. まず、$f(x)=2x^2-x+5$ とおくと、$f'(x)=4x-1$。傾きが $7$ より \begin{align} &4x-1=7\\ \Leftrightarrow~&x=2 \end{align} また、$f(2)=2\cdot2^2-2+5=11$ より、接点の座標は$(2,~11)$。

   よって、求める接線の方程式は \begin{align} &y=7(x-2)+11\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{y=7x-3} \end{align}

3. まず、$f(x)=x^3+3x-2$ とおくと、$f'(x)=3x^2+3$。傾きが $6$ より \begin{align} &3x^2+3=6\\ \Leftrightarrow~&x=\pm1 \end{align} また、$f(1)=1^3+3\cdot1-2=2$、$f(-1)=(-1)3+3(-1)-2=-6$ より、接点の座標は $(1,~2)$ または $(-1,~-6)$。

   よって、求める接線の方程式は \begin{align} &y=6(x-1)+2\\ \Leftrightarrow~&y=6x-4\\ &y=6(x+1)-6\\ \Leftrightarrow~&y=6x \end{align} まとめると、$\boldsymbol{y=6x-4,~y=6x}$

4. まず、$f(x)=x^3-6x$ とおくと、$f'(x)=3x^2-6$。傾きが $6$ より \begin{align} &3x^2-6=6\\ \Leftrightarrow~&x=\pm2 \end{align} また、$f(2)=2^3-6\cdot2=-4$、$f(-2)=(-2)3-6(-2)=4$ より、接点の座標は $(2,~-4)$ または $(-2,~4)$。

   よって、求める接線の方程式は \begin{align} &y=6(x-2)-4\\ \Leftrightarrow~&y=6x-16\\ &y=6(x+2)+4\\ \Leftrightarrow~&y=6x+16 \end{align} まとめると、$\boldsymbol{y=6x-16,~y=6x+16}$

1. $f(x)=x^2+1$ とおくと、$f'(x)=2x$。$(t,~f(t))$ における $f(x)$ の接線の方程式は \begin{align} &y=2t(x-t)+t^2+1\\ \Leftrightarrow~&y=2tx-t^2+1 \end{align} となる。これが $(2,~5)$ を通るとき \begin{align} &5=2t\cdot2-t^2-1\\ \Leftrightarrow~&t^2-4t+4=0\\ \Leftrightarrow~&t=2 \end{align} よって、求める接線の方程式は \begin{align} &y=2\cdot2\cdot x-2^2+1\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{y=4x-3} \end{align}
2. $f(x)=2x^2-3x+1$ とおくと、$f'(x)=4x-3$。$(t,~f(t))$ における $f(x)$ の接線の方程式は \begin{align} &y=(4t-3)(x-t)+2t^2-3t+1\\ \Leftrightarrow~&y=(4t-3)x-2t^2+1 \end{align} となる。これが $(0,~-1)$ を通るとき \begin{align} &-1=-2t^2+1\\ \Leftrightarrow~&2t^2-2=0\\ \Leftrightarrow~&t=\pm1 \end{align} よって、求める接線の方程式は \begin{align} &y=(4\cdot1-3)x-2\cdot1^2+1\\ \Leftrightarrow~&y=x-1\\ &y=\left\{4(-1)-3\right\}x-2(-1)^2+1\\ \Leftrightarrow~&y=-7x-1 \end{align} まとめると、$\boldsymbol{y=x-1,~y=-7x-1}$。
3. $f(x)=x^3-1$ とおくと、$f'(x)=3x^2$。$(t,~f(t))$ における $f(x)$ の接線の方程式は \begin{align} &y=3t^2(x-t)+t^3-1\\ \Leftrightarrow~&y=3t^2x-2t^3-1 \end{align} となる。これが $(0,~-17)$ を通るとき \begin{align} &-17=-2t^3-1\\ \Leftrightarrow~&-2t^3=-16\\ \Leftrightarrow~&t=2 \end{align} よって、求める接線の方程式は \begin{align} &y=3\cdot2^2x-2\cdot2^3-1\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{y=12x-17} \end{align}
4. $f(x)=x^3+2x-6$ とおくと、$f'(x)=3x^2+2$。$(t,~f(t))$ における $f(x)$ の接線の方程式は \begin{align} &y=(3t^2+2)(x-t)+t^3+2t-6\\ \Leftrightarrow~&y=(3t^2+2)x-2t^3-6 \end{align} となる。これが $(4,~2)$ を通るとき \begin{align} &2=12t^2+8-2t^3-6\\ \Leftrightarrow~&-2t^3+12t^2=0\\ \Leftrightarrow~&t=0,~6 \end{align} よって、求める接線の方程式は \begin{align} &y=(3\cdot0^2+2)x-2\cdot0^3-6\\ \Leftrightarrow~&y=2x-6\\ &y=\left\{3\cdot6^2 +2\right\}x-2\cdot6^3-6\\ \Leftrightarrow~&y=110x-438 \end{align} まとめると、$\boldsymbol{y=2x-6,~y=110x-438}$。

1. $f'(x)=x-4$ であるから、点 $\text{A}(2,~8)$ における接線 $l$ の傾きは \[f'(2)=2-4=-2\] となるので、$l$ の方程式は \begin{align} &y=-2(x-2)+8\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{y=-2x+12} \end{align}
2. $f'(x)=x-4$ であるから、点 $\text{B}(8,~14)$ における接線 $m$ の傾きは \[f'(8)=8-4=4\] となるので、$m$ の方程式は \begin{align} &y=4(x-8)+14\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{y=4x-18} \end{align}
3. $l:y=-2x+12$ と $m:y=4x-18$ を連立して \begin{cases} y=-2x+12\\ y=4x-18 \end{cases} を解くと、$(x,~y)=(5,~2)$。よって、$l$ と $m$ の交点の $x$ 座標は $\boldsymbol{5}$。グラフは右のようになる。

まず、接線 $l$ の方程式を求める。

$f(x)=ax^2$ とおくと、$f'(x)=2ax$ であるから、点 $\text{A}(s,~s^2)$ における $l$ の傾きは \[f'(s)=2as\] となるので、$l$ の方程式は \begin{align} &y=2as(x-s)+as^2\\ \Leftrightarrow~&y=2asx-as^2\tag{1}\label{sessenhosennohotesiki1} \end{align} 接線 $m$ も同様にして \[y=2atx-at^2\tag{2}\label{sessenhosennohotesiki2}\] $\eqref{sessenhosennohotesiki1}$ と $\eqref{sessenhosennohotesiki2}$ を連立して \begin{cases} y=2asx-as^2\\ y=2atx-at^2 \end{cases} 上式から下式をひいて $y$ を消去すると \begin{align} &2asx-as^2=2atx-at^2\\ \Leftrightarrow~&2ax(s-t)=a(s^2-t^2)\\ \Leftrightarrow~&x=\dfrac{a(s+t)(s-t)}{2a(s-t)}=\dfrac{s+t}{2} \end{align} よって、$l$ と $m$ の交点の $x$ 座標は、点 $\text{A}$ と点 $\text{B}$ の中点の $x$ 座標 $\dfrac{s+t}{2}$ とつねに等しくなる。