微分の計算法則について

微分の計算に関して、次のような法則が成り立つ。これらを使うと、複雑な関数の微分がより簡単にできる。

微分の計算法則

関数 $f(x)$、$g(x)$ の導関数 $f'(x)$、$g'(x)$ が存在するとき

$\left\{f(x){\pm}g(x)\right\}'=f'(x){\pm}g'(x)$
$\left\{kf(x)\right\}'=kf'(x)$
$\left\{f(x)g(x)\right\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$
（関数の積の微分法）
$\left\{f(ax+b)\right\}'=af'(ax+b)$

\begin{align} &\left\{f(x){\pm}g(x)\right\}'\\ =&\displaystyle\lim_{h\to0}\big[\left\{f(x+h){\pm}g(x+h)\right\}\\ &\qquad-\left\{f(x){\pm}g(x)\right\}\big]\div{h}\\ =&\displaystyle\lim_{h\to0}\big[\left\{f(x+h)-f(x)\right\}\\ &\qquad\pm\left\{g(x+h)-g(x)\right\}\big]\div{h}\\ =&\displaystyle\lim_{h\to0}\bigg\{\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ &\qquad\pm\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}\bigg\}\\ =&\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ &\qquad\pm\lim_{h\to0}\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}\\ =&f'(x){\pm}g'(x) \end{align}
\begin{align} &\left\{kf(x)\right\}'\\ =&\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{kf(x+h)-kf(x)}{h}\\ =&k\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ =&kf'(x) \end{align}
\begin{align} &\left\{f(x)g(x)\right\}'\\ =&\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\ =&\displaystyle\lim_{h\to0}\big[\left\{f(x+h)-f(x)\right\}g(x+h)\\ &\qquad+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)\big]\\ &\qquad\div{h}\\ =&\displaystyle\lim_{h\to0}\big[\left\{f(x+h)-f(x)\right\}g(x+h)\\ &\qquad+f(x)\left\{g(x+h)-g(x)\right\}\big]\div{h}\\ =&\displaystyle\lim_{h\to0}\bigg\{\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x+h)\\ &\qquad+f(x)\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}\bigg\}\\ =&\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x+h)\\ &\qquad+\displaystyle\lim_{h\to0}f(x)\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}\\ =&f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \end{align}
\begin{align} &\left\{f(ax+b)\right\}'\\ =&\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(a(x+h)+b)-f(ax+b)}{h}\\ =&\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f((ax+b)+ah)-f(ax+b)}{h}\\ =&\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f((ax+b)+ah)-f(ax+b)}{ah}\\ &\qquad\times{a}\\ =&f'(ax+b)\cdot{a}\\ =&af'(ax+b) \end{align}

関数を微分する

次の関数を微分せよ。

$y=2x^2-5x-3$
$y=\dfrac{2}{3}x^3+\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{3}$
$y=(x^3+1)(x^2+5)$
$y=(5x-2)^4$

関数を微分するの解答

微分すると \begin{align} y'&=(2x^2-5x-3)'\\ &=(2x^2)'-(5x)'-(3)'\\ &=2(x^2)'-5(x)'-(3)'\\ &=2\cdot2x-5-0\\ &=\boldsymbol{4x-5} \end{align}
微分すると \begin{align} y'&=\left(\dfrac{2}{3}x^3+\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{3}\right)'\\ &=\left(\dfrac{2}{3}x^3\right)'+\left(\dfrac{1}{2}x\right)'-\left(\dfrac{1}{3}\right)'\\ &=\dfrac{2}{3}(x^3)'+\dfrac{1}{2}\left(x\right)'-\left(\dfrac{1}{3}\right)'\\ &=\dfrac{2}{3}\cdot3x^2+\dfrac{1}{2}-0\\ &=\boldsymbol{2x^2+\dfrac{1}{2}} \end{align}
微分すると \begin{align} y'&=\left\{(x^3+1)(x^2+5)\right\}'\\ &=(x^3+1)'(x^2+5)\\ &\qquad+(x^3+1)(x^2+5)'\\ &=3x^2(x^2+5)+(x^3+1)2x\\ &=\boldsymbol{5x^4+15x^2+2x} \end{align}
微分すると \begin{align} y'&=\left\{(5x-2)^4\right\}'\\ &=5\times4(5x-2)^3\\ &=\boldsymbol{20(5x-2)^3} \end{align}