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三角関数の符号と動径の象限

三角関数の符号と動径の象限

三角関数の値の符号は，その角の動径がどの象限に含まれるかで決定する． まとめると次のようになる．

三角関数の符号と動径の象限

三角関数の値の符号は，動径のある象限によって次のように決まる．

1)sinθの符号

三角関数の符号と動径の象限の図その１

2)cosθの符号

三角関数の符号と動径の象限の図その２

3)tanθの符号

三角関数の符号と動径の象限の図その３

任意の角に対する三角関数の値

以下の角度に対する，正弦，余弦，正接の値をそれぞれ求めよ．

  1. 53π
  2. 76π
  3. 233π
  4. −154π

    任意の角に対する三角関数の値の解答の図その１


  1. P (12, −√32)なので

    cos53π=12

    sin53π=−√32

    tan53π=−√3

    2. 任意の角に対する三角関数の値の解答の図その２


  2. P (−√32, −12)なので

    cos76π=−√32

    sin76π=−12

    tan76π=√33

    3. 任意の角に対する三角関数の値の解答の図その３


  3. 233π=53π+3⋅2πより，53πの三角関数に等しい．1.より

    cos233π=12

    sin233π=−√32

    tan233π=−√3

    4. 任意の角に対する三角関数の値の解答の図その４


  4. −154π=14π+(−2)⋅2πより，14πの三角関数に等しい．よって

    cos(−154π)=√22

    sin(−154π)=√22

    tan(−154π)=1

三角関数を含む方程式

  1. 0≦のとき，\sin\theta =-\dfrac{1}{2}を満たす\thetaを求めよ．
  2. 0\leqq \theta<4\piのとき，\sin\theta =-\dfrac{1}{2}を満たす\thetaを求めよ．
  3. \thetaを任意の実数とする．\sin\theta =-\dfrac{1}{2}を満たす\thetaを求めよ．
  4. -\pi\leqq \theta<\piのとき，\sin\theta =-\dfrac{1}{2}を満たす\thetaを求めよ．

無題

無題

(動点のy座標の値)=-\dfrac{1}{2}であればよいので，求める\thetaは，図の\angle{\text{POX}},~\angle{\text{P}’\text{OX}}に等しい．

  1. 0\leqq \theta < 2\piの範囲では

    \angle{\text{POX}}=\dfrac{7}{6}\pi,~~

    \angle{\text{P}’\text{OX}}=\dfrac{11}{6}\pi

    となる．つまり，\boldsymbol{\theta=\dfrac{7}{6}\pi,~\dfrac{11}{6}\pi}．

  2. 0\leqq \theta < 4\piの範囲では

    \begin{align} &\angle{\text{POX}}=\dfrac{7}{6}\pi,~\dfrac{7}{6}\pi +2\pi\\ &\angle{\text{P}’\text{OX}}=\dfrac{11}{6}\pi,~\dfrac{11}{6}\pi +2\pi \end{align}

    となる．つまり，

    \boldsymbol{\theta=\dfrac{7}{6}\pi,~\dfrac{11}{6}\pi,~\dfrac{19}{6}\pi,~\dfrac{23}{6}\pi}．

  3. \thetaは任意なので，nを整数として

    \begin{align} &\angle{\text{POX}}=\dfrac{7}{6}\pi +2n\pi,~~\\ &\angle{\text{P}’\text{OX}}=\dfrac{11}{6}\pi +2n\pi \end{align}

    となる．つまり， \boldsymbol{\theta=\dfrac{7}{6}\pi +2n\pi,~\dfrac{11}{6}\pi +2n\pi}．

  4. -\pi\leqq \theta < \piの範囲では

    \begin{align} &\angle{\text{POX}}=\dfrac{7}{6}\pi -2\pi,~~\\ &\angle{\text{P}’\text{OX}}=\dfrac{11}{6}\pi -2\pi \end{align}

    となる．つまり， \boldsymbol{\theta=-\dfrac{5}{6}\pi,~ -\dfrac{1}{6}\pi}．

三角関数を含む不等式

  1. 0\leqq \theta<2\piのとき，\cos\theta <\dfrac{1}{2}を満たす\thetaの範囲を求めよ．
  2. 0\leqq \theta<4\piのとき，\cos\theta <\dfrac{1}{2}を満たす\thetaの範囲を求めよ．
  3. \thetaを任意の実数とする．\cos\theta <\dfrac{1}{2}を満たす\thetaの範囲を求めよ．
  4. -\pi\leqq \theta<\piのとき，\cos\theta <\dfrac{1}{2}を満たす\thetaの範囲を求めよ．

無題

無題

(動点のx座標の値)<\dfrac{1}{2}であればよい．

そのためには，動点が図の太線部分にあればよい．

  1. 0\leqq \theta < 2\piの範囲では， \boldsymbol{\dfrac{1}{3}\pi<\theta<\dfrac{5}{3}\pi}．

  2. 0\leqq \theta < 4\piの範囲では， 1.の答えに加えて

    \dfrac{1}{3}\pi +2\pi <\theta<\dfrac{5}{3}\pi +2\pi

    も満たすので， \boldsymbol{\dfrac{1}{3}\pi <\theta<\dfrac{5}{3}\pi,~\dfrac{7}{3}\pi <\theta<\dfrac{11}{3}\pi}．

  3. \thetaは任意なので，

    \boldsymbol{\dfrac{1}{3}\pi +2n\pi <\theta<\dfrac{5}{3}\pi +2n\pi~~}(nは整数)

    が求める答えとなる．

  4. -\pi\leqq \theta < \piの範囲では

    \begin{align} -\pi \leqq \theta<\dfrac{5}{3}\pi -2\pi,~~ \dfrac{1}{3}\pi <\theta< \pi \end{align}

    となる．つまり， \boldsymbol{-\pi \leqq \theta<-\dfrac{1}{3}\pi,~ \dfrac{1}{3}\pi <\theta<\pi}．

範囲をもつ変数の置き換え

  1. 0\leqq \theta <2\pi,~\theta'=2 \theta -\dfrac{\pi}{3}とする． \theta'のとりうる範囲を求めよ．
  2. 0\leqq \theta <2\piのとき， 方程式\sin\left(2 \theta -\dfrac{\pi}{3}\right) =\dfrac{\sqrt{3}}{2}を満たす\thetaの値を求めよ．
  3. 0\leqq \theta <2\piのとき， 不等式\sin\left(2 \theta -\dfrac{\pi}{3}\right) <\dfrac{\sqrt{3}}{2}を満たす\thetaの範囲を求めよ．

  1. \begin{align} &0\leqq \theta <2\pi\\ \Leftrightarrow~&0\leqq 2\theta <4\pi\\ \Leftrightarrow~&0-\dfrac{\pi}{3} \leqq 2\theta-\dfrac{\pi}{3} <4\pi-\dfrac{\pi}{3} \end{align}

    より\boldsymbol{-\dfrac{\pi}{3} \leqq \theta' <\dfrac{11}{3}\pi}と分かる．

    ←2倍しても，\dfrac{\pi}{3}を引いても大小関係は変わらない

    2. 範囲をもつ変数の置き換えの解答の図その１

  2. 1.の \theta'を用いると，与えられた方程式は\sin\theta' =\dfrac{\sqrt{3}}{2}となる． 1.より-\dfrac{\pi}{3} \leqq \theta' <\dfrac{11}{3}\piなので，図より

    \theta' =\dfrac13\pi,~\dfrac23\pi,~\dfrac73\pi,~\dfrac83\piとなる．

    \theta=\dfrac{\theta'}{2}+\dfrac{\pi}{6}なので

    \begin{align} \boldsymbol{\theta= \dfrac13\pi,~\dfrac12\pi,~\dfrac43\pi,~\dfrac32\pi} \end{align}
    3. 範囲をもつ変数の置き換えの解答の図その２

  3. 1.の \theta'を用いると，与えられた不等式は\sin\theta' <\dfrac{\sqrt{3}}{2}となる． 1.より-\dfrac{\pi}{3} \leqq \theta' <\dfrac{11}{3}\piなので

    -\dfrac{\pi}{3}\leqq \theta' <\dfrac13\pi,~\dfrac23\pi< \theta' <\dfrac73\pi,
    ~\dfrac83\pi< \theta' <\dfrac{11}{3}\piとなる． \theta'=2\theta-\dfrac{\pi}{3}を代入して\thetaについて解けば

    ←たとえば

    \begin{align} &\dfrac{2}{3}\pi< 2\theta-\dfrac{\pi}{3} <\dfrac{7}{3}\pi\\ \Leftrightarrow~&\pi< 2\theta<\dfrac83\pi ~\Leftrightarrow~\dfrac{\pi}{2}< \theta<\dfrac{4}{3}\pi \end{align} \begin{align} &\boldsymbol{0\leqq\theta< \dfrac{\pi}{3},~\dfrac{\pi}{2}<\theta<\dfrac43\pi,}\\ &\boldsymbol{\dfrac32\pi<\theta <2\pi} \end{align}