正接の加法定理

正弦と余弦の加法定理から，次のような正接の加法定理を導くことができる．

$\begin{align} \tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} \end{align}$

$\tag{2}\label{seisetunokahouteiri1}$

【証明】

$\begin{align} &\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}\\ &=\dfrac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}\\ &=\dfrac{\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\dfrac{\sin\beta}{\cos\beta}}{1-\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\dfrac{\sin\beta}{\cos\beta}} \end{align}$

←分母と分子を $\cos\alpha\cos\beta$ で割った

$=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$

暗記正接の加法定理の導出

上の $\eqref{seisetunokahouteiri1}$ を利用して，次の等式を証明せよ．

$\begin{align} \tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta} \end{align}$

正接の加法定理の導出の解答

$\eqref{seisetunokahouteiri1}$ の $\beta$ を $− \beta$ におきかえると

$\begin{align} &\tan\{\alpha+(-\beta)\}=\dfrac{\tan\alpha+\tan(-\beta)}{1-\tan\alpha\tan(-\beta)}\\ \Leftrightarrow~&\tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta} \end{align}$

← $-\theta$ の三角比

正接の加法定理

$\begin{align} &\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\\ &\tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta} \end{align}$

正接の加法定理

$0<\alpha<\dfrac{\pi}{2},~~0<\beta<\dfrac{\pi}{2}$ で， $\tan\alpha=5,~\tan\beta=\dfrac{3}{2}$ のとき，次の問いに答えよ．

$\tan(\alpha+\beta),~\tan(\alpha-\beta)$ の値を求めよ．
$\alpha+\beta$ の値を求めよ．

正接の加法定理の解答

正接の加法定理より
$\begin{align} \tan(\alpha+\beta)&=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\\ &=\dfrac{5+\dfrac{3}{2}}{1-5\cdot\dfrac{3}{2}}=\boldsymbol{-1}\\ \tan(\alpha-\beta)&=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\\ &=\dfrac{5-\dfrac{3}{2}}{1+5\cdot\dfrac{3}{2}}=\boldsymbol{\dfrac{7}{17}} \end{align}$
$0<\alpha+\beta<\pi$ および， $\tan(\alpha+\beta)=-1$ より， $\alpha+\beta=\boldsymbol{\dfrac{3}{4}\pi}$ である．