不等式の証明の基本について

不等式 $A > B$ を証明するには， $A$ がだんだん小さくなるように変形していって，それでもなお $B$ より大きいことを示せばよい． たとえば，$\sqrt{x^4+2x^2+2}>x^2+1$を示すには

\begin{eqnarray} \text{（左辺）}&=&\sqrt{x^4+2x^2+2}\\ 　　　　　　　&\gt&\sqrt{x^4+2x^2+1}　　　　　　　← 根号の中の値が1だけ小さくなっている\\ 　　　 　　&=&\sqrt{(x^2+1)^2}\\ 　　 　　　&=&x^2+1=\text{（右辺）} \end{eqnarray}

とすればよい．

しかし，一般には $A > B$ と同値である $A − B > 0$ を示すことの方が簡単なことが多い． そのため，このテキストでも適宜 $A − B > 0$ を示す方法を利用する．

不等式の証明

不等式 $A > B$ を証明するには，それと同値の内容である， $A − B > 0$ を示せばよい．

なお $A>B\Rightarrow A\geqq{B}$ であるため， $A\geqq{B}$ を証明するには $A>B$ をいえば十分である．

不等式の証明-その1-

次の不等式を証明せよ．

  1. $a > 1，b > 1$ ならば，
    $\qquad ab + 1 > a + b$
  2. $a > c，b > d$ ならば，
    $\qquad ab + cd > ad + bc$

  1. （左辺） $-$ （右辺）を計算すると

    \begin{align} &ab+1-(a+b) \\ &=a(b-1)-(b-1) \\ &=(a-1)(b-1) \end{align}

    $a > 1，b > 1$ より，$a − 1 > 0，b − 1 > 0$ だから，$(a − 1)(b − 1) > 0$ が成り立つ．

    以上より， $ab + 1 > a + b$ が証明された．

  2. （左辺） $-$ （右辺）を計算すると

    \begin{align} & (ab+cd)-(ad+bc) \\ &=a(b-d)-c(b-d) \\ &=(a-c)(b-d) \end{align}

    $a > c，b > d$ より， $a − c > 0，b − d > 0$ だから， $(a − c)(b − d) > 0$ が成り立つ．

    以上より， $ab + cd > ad + bc$ が証明された．