多項式の除法の一意性

ここまで計算してきた経験から，多項式の除法では，商や余りが必ず存在し，さらにそれらが一通りに定まることは明らかであろう．

一般に，ある定義で定められたものがただ一通りに定まることを一意性(uniqueness)という ．次に，多項式の除法の一意性について，まとめておこう．

【証明：背理法】

多項式$f(x)$と$g(x)$について

$f(x)=g(x)Q_1(x)+r_1(x)$
$\deg r_1(x) \lt \deg g(x)$ $\tag{1}\label{takousikinozyohounoitiisei1}$

$f(x)=g(x)Q_2(x)+r_2(x)$
$\deg r_2(x) \lt \deg g(x)$ $\tag{2}\label{takousikinozyohounoitiisei2}$

と2通りに表されたとする．

$\eqref{takousikinozyohounoitiisei1}-\eqref{takousikinozyohounoitiisei2}$より

となる．

$\eqref{takousikinozyohounoitiisei3}$において，$Q_1(x) – Q_2(x)$が$0$ではないとすると，左辺の次数が右辺の次数より大きくなってしまう． よって，$Q_1(x) – Q_2(x)$は$0$，つまり$Q_1(x) = Q_2(x)$である．

また，このとき③の左辺は$0$となるので

以上より，商と余りが一致することが示されたので，多項式の除法の商と余りは一通りに定まることが証明された．