多項式の除法の一意性

（注）

ここまで計算してきた経験から，多項式の除法では，商や余りが必ず存在し，さらにそれらが一通りに定まることは明らかであろう．

一般に，ある定義で定められたものがただ一通りに定まることを一意性(uniqueness)という．次に，多項式の除法の一意性について，まとめておこう．

多項式の除法の一意性

多項式 $f(x)，g(x)$ において

$\begin{align} &f(x)=g(x)Q(x)+r(x)\\ &\qquad(\deg r(x) \lt \deg g(x)) \end{align}$

を満たす多項式 $Q(x)，r(x)$ が

ただ一通りに

存在する．

【証明：背理法】

多項式 $f(x)$ と $g(x)$ について

$f(x)=g(x)Q_1(x)+r_1(x)$
$\deg r_1(x) \lt \deg g(x)$ $\tag{1}\label{takousikinozyohounoitiisei1}$

$f(x)=g(x)Q_2(x)+r_2(x)$
$\deg r_2(x) \lt \deg g(x)$ $\tag{2}\label{takousikinozyohounoitiisei2}$

と2通りに表されたとする．

$\eqref{takousikinozyohounoitiisei1}-\eqref{takousikinozyohounoitiisei2}$ より

$\begin{align} &0=g(x)Q_1(x)+r_1(x)\\ &-g(x)Q_2(x)-r_2(x)\\ \Leftrightarrow~&g(x)\left\{Q_1(x)-Q_2(x)\right\}\\ &=r_2(x)-r_1(x) \end{align}$

$\tag{3}\label{takousikinozyohounoitiisei3}$

となる．

$\eqref{takousikinozyohounoitiisei3}$ において， $Q_1(x) – Q_2(x)$ が $0$ ではないとすると，左辺の次数が右辺の次数より大きくなってしまう．よって， $Q_1(x) – Q_2(x)$ は $0$ ，つまり $Q_1(x) = Q_2(x)$ である．

また，このとき③の左辺は $0$ となるので

$\begin{align} &0=r_2(x)-r_1(x)\\ \Leftrightarrow~&r_1(x)=r_2(x) \end{align}$

以上より，商と余りが一致することが示されたので，多項式の除法の商と余りは一通りに定まることが証明された．