3倍角の公式

暗記3倍角の公式の導出

$\sin3\alpha$ を $\sin\alpha$ だけの式で表せ．また， $\cos3\alpha$ を $\cos\alpha$ だけの式で表せ．

3倍角の公式の導出の解答

$\sin3\alpha=\sin(2\alpha +\alpha)$ $=\sin2\alpha \cos\alpha +\cos2\alpha \sin\alpha$ ←正弦と余弦の加法定理 $=(2\sin\alpha \cos\alpha)\cos\alpha +(1-2\sin^2\alpha)\sin\alpha$ ←2倍角の公式 $=2\sin\alpha \cos^2\alpha +\sin\alpha -2\sin^3\alpha$ $=2\sin\alpha(1-\sin^2\alpha) +\sin\alpha -2\sin^3\alpha$ ←拡張された三角関数の相互関係 $=\boldsymbol{3\sin\alpha -4\sin^3\alpha}$ $\cos3\alpha=\cos(2\alpha +\alpha)$ $=\cos2\alpha \cos\alpha -\sin2\alpha \sin\alpha$ ←正弦と余弦の加法定理 $=(2\cos^2\alpha -1)\cos\alpha +(2\sin\alpha\cos\alpha)\sin\alpha$ ←2倍角の公式 $=2\cos^3\alpha -\cos\alpha +2\sin^2\alpha\cos\alpha$ $=2\cos^3\alpha -\cos\alpha +2(1-\cos^2\alpha)\cos\alpha$ ←拡張された三角関数の相互関係 $=\boldsymbol{4\cos^3\alpha -3\cos\alpha}$

3倍角の公式

$\sin3\alpha=3\sin\alpha -4\sin^3\alpha$
$\cos3\alpha=4\cos^3\alpha -3\cos\alpha$

3倍角の公式の利用

$0\leqq x \leqq\pi$ のとき，不等式 $\cos3{x} +2\cos{x}=0$ を満たす $x$ を求めよ．

3倍角の公式の利用の解答

無題

$\cos3{x} =4\cos^3{x} -3\cos{x}$ なので

$\begin{align} &\cos3{x} +2\cos{x} =0\\ \Leftrightarrow ~&4\cos^3{x} -3\cos{x} +2\cos{x}=0\\ \Leftrightarrow ~&(4\cos^2{x} -1)\cos{x} =0\\ \Leftrightarrow ~&\cos{x} =-\dfrac{1}{2},~ \dfrac{1}{2},~ 0 \end{align}$

$0\leqq {x} \leqq \pi$ の範囲でこれを解いて，

$\boldsymbol{{x} =\dfrac{\pi}{3},~\dfrac{\pi}{2},~\dfrac{2}{3}\pi}$