極限の計算法則について
さきほどの2つの例より \[f(x)=2x+1のとき\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=3\] \[g(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}のとき\displaystyle\lim_{x\to1}g(x)=2\] であった。いま、この2つの関数を足し合わせた関数 $h(x)=f(x)+g(x)=2x+1+\dfrac{x^2-1}{x-1}$ の極限 $\displaystyle\lim_{x\to1}h(x)$ は、$x\neq1$ のとき \begin{align} f(x)+g(x)&=2x+1+\dfrac{x^2-1}{x-1}\\ &=2x+1+\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}\\ &=2x+1+x+1\\ &=3x+2 \end{align} であるから \begin{align} \displaystyle\lim_{x\to1}h(x)&=\displaystyle\lim_{x\to1}\left\{f(x)+g(x)\right\}\\ &=\displaystyle\lim_{x\to1}(3x+2)=5 \end{align} となる。これは、極限をとったあと足し合わせた \[\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)+\displaystyle\lim_{x\to1}g(x)=3+2=5\] という結果と等しくなる。つまり \[\displaystyle\lim_{x\to1}\{f(x)+g(x)\}=\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)+\displaystyle\lim_{x\to1}g(x)\] が成り立っている。簡単にいえば、和の極限値は極限値の和と等しいということである。
和に限らず、一般に極限値の計算において、次のようなことがいえる。
極限の計算法則
$\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)$、$\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)$ が存在するとき
- $\displaystyle\lim_{x\to{a}}\{f(x)\pm g(x)\}=\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)\pm\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)$ （複合同順）
- $\displaystyle\lim_{x\to{a}}\left\{kf(x)\right\}=k\cdot\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)$
ただし、$k$ は定数とする。 - $\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)g(x)=\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)\cdot\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)$
- $\displaystyle\lim_{x\to{a}}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)}$
ただし、$\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)\neq0$ とする。
この定理を証明するためには、極限の定義をもっと厳密なものにする必要がある。厳密な極限の議論はFTEXT 数学IIIで行う。