極限
この節では、瞬間の速度で学んだ考え方を、関数を利用することにより、より一般的に見ていくことにしよう。
極限の定義
極限の定義について
極限の定義
関数 $f(x)$ において、$x$ が $a$ と異なる値をとりながら $a$ に限りなく近づくとき、$f(x)$ が定数
また、$f(x)$ は限りなく $\alpha$ に近づくという意味で
$x\to{a}$ のとき、$f(x)$ は $\alpha$ に収束 (convergence)する
ということもある。
極限の考え方の基本～例1～
ここで、例として $f(x)=2x+1$ において $\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)$ がいくつになるのか考えてみよう。
たとえば、$x$ を $0.9$ からスタートして、$0.99,0.999,0.9999,\cdots$ と $1$ に近づけていくと \begin{align} &f(0.9)=2\times0.9+1=2.8\\ &f(0.99)=2\times0.99+1=2.98\\ &f(0.999)=2\times0.999+1=2.998\\ &f(0.9999)=2\times0.9999+1=2.9998 \end{align} と計算できるので、次の表のようにまとめられる。
| $x$ | $0.9$ | $0.99$ | $0.999$ | $0.9999$ | $\cdots$ | |
| $f(x)$ | $2.8$ | $2.98$ | $2.998$ | $2.9998$ | $\cdots$ |
また、$x$ を $1.5$ からスタートして、$1.25,1.125,1.0625,\cdots$ と、距離を半分ずつつめながら $1$ に近づけていくと \begin{align} &f(1.5)=2\times1.5+1=4\\ &f(1.25)=2\times1.25+1=3.5\\ &f(1.125)=2\times1.125+1=3.25\\ &f(1.0625)=2\times1.0625+1=3.125 \end{align} と計算できるので、次の表のようにまとめられる。
| $x$ | $1.5$ | $1.25$ | $1.125$ | $1.0625$ | $\cdots$ | |
| $f(x)$ | $4$ | $3.5$ | $3.25$ | $3.125$ | $\cdots$ |
以上2つの例からわかるように $\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=3$ であるといえる。
この結果は、図の $y=f(x)$ のグラフから明らかであろう。
また、ここで $f(1)=3$ であるから、結果として \[\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=f(1)\] となっていることがわかる。
一般に、この $f(x)=2x+1$ のように、$y=f(x)$ のグラフが $x=a$ で途切れていないとき、$\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)$ の値は \[\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)=f(a)\tag{1}\label{kyokugennokangaekatanokihonrei1}\] となる。このことを知っていれば、上で調べたようにわざわざ表を作って考察しなくても、すぐに極限値を求めることができる。
極限の考え方
しかし、次の例のように、関数 $y=f(x)$ のグラフの形がすぐにはわからないようなときには、グラフが途切れている可能性が あるので、極限値を求めるのに注意を要する。
極限の考え方の基本～例2～
では、その例として、$g(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ において $\displaystyle\lim_{x\to1}~g(x)$ がいくつになるのか考えてみよう。
たとえば $x$ を $0.9$ からスタートして、$0.99,0.999,0.9999,\cdots$ と $1$ に近づけていくと \begin{align} g(0.9)&=\dfrac{0.9^2-1}{0.9-1}\\ &=\dfrac{(0.9-1)(0.9+1)}{0.9-1}=1.9\\ g(0.99)&=\dfrac{0.99^2-1}{0.99-1}\\ &=\dfrac{(0.99-1)(0.99+1)}{0.99-1}=1.99\\ g(0.999)&=\dfrac{0.999^2-1}{0.999-1}\\ &=\dfrac{(0.999-1)(0.999+1)}{0.999-1}\\ &=1.999\\ g(0.9999)&=\dfrac{0.9999^2-1}{0.9999-1}\\ &=\dfrac{(0.9999-1)(0.9999+1)}{0.9999-1}\\ &=1.9999 \end{align} と計算できるので、次の表のようにまとめられる。
| $x$ | $0.9$ | $0.99$ | $0.999$ | $0.9999$ | $\cdots$ | |
| $f(x)$ | $1.9$ | $1.99$ | $1.999$ | $1.9999$ | $\cdots$ |
また、$x$ を $1.5$ からスタートして、$1.25,1.125,1.0625,\cdots$ と、距離を半分ずつつめながら $1$ に近づけていくと \begin{align} g(1.5)&=\dfrac{1.5^2-1}{1.5-1}\\ &=\dfrac{(1.5-1)(1.5+1)}{1.5-1}=2.5\\ g(1.25)&=\dfrac{1.25^2-1}{1.25-1}\\ &=\dfrac{(1.25-1)(1.25+1)}{1.25-1}=2.25\\ g(1.125)&=\dfrac{1.125^2-1}{1.125-1}\\ &=\dfrac{(1.125-1)(1.125+1)}{1.125-1}\\ &=2.125\\ g(1.0625)&=\dfrac{1.0625^2-1}{1.0625-1}\\ &=\dfrac{(1.0625-1)(1.0625+1)}{1.0625-1}\\ &=2.0625\\ &\qquad\vdots \end{align} と計算できるので、次の表のようにまとめられる。
| $x$ | $1.5$ | $1.25$ | $1.125$ | $1.0625$ | $\cdots$ | |
| $f(x)$ | $2.5$ | $2.25$ | $2.125$ | $2.0625$ | $\cdots$ |
上の2つの計算では、$g(x)$ の $x$ に値を代入してから約分して計算したが、$x\neq1$ であるかぎり \[g(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1\] であるから、このように先に約分してから $x$ に値を代入する方が楽になる。
いま、$g(x)$ の値は $x=1$ では（分母が $0$ になるので）定義されないが、$\displaystyle\lim_{x\to1}g(x)$ は $2$ として存在する、つまり \[\underbrace{\displaystyle\lim_{x\to1}g(x)}_{この値は2}\neq\underbrace{g(1)}_{存在してない！}\] であることに注意しよう。
極限の考え方
このことを、グラフで考えてみる。$g(x)$ は $x\neq1$ で \[g(x)=x+1\] と書けるので、$y=g(x)$ のグラフは図のようになり、$x=a$ で $g(x)$ が存在しなくても、 $\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)$ は存在することがある。
極限の計算法則
極限の計算法則について
さきほどの2つの例より \[f(x)=2x+1のとき\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=3\] \[g(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}のとき\displaystyle\lim_{x\to1}g(x)=2\] であった。いま、この2つの関数を足し合わせた関数 $h(x)=f(x)+g(x)=2x+1+\dfrac{x^2-1}{x-1}$ の極限 $\displaystyle\lim_{x\to1}h(x)$ は、$x\neq1$ のとき \begin{align} f(x)+g(x)&=2x+1+\dfrac{x^2-1}{x-1}\\ &=2x+1+\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}\\ &=2x+1+x+1\\ &=3x+2 \end{align} であるから \begin{align} \displaystyle\lim_{x\to1}h(x)&=\displaystyle\lim_{x\to1}\left\{f(x)+g(x)\right\}\\ &=\displaystyle\lim_{x\to1}(3x+2)=5 \end{align} となる。これは、極限をとったあと足し合わせた \[\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)+\displaystyle\lim_{x\to1}g(x)=3+2=5\] という結果と等しくなる。つまり \[\displaystyle\lim_{x\to1}\{f(x)+g(x)\}=\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)+\displaystyle\lim_{x\to1}g(x)\] が成り立っている。簡単にいえば、和の極限値は極限値の和と等しいということである。
和に限らず、一般に極限値の計算において、次のようなことがいえる。
極限の計算法則
$\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)$、$\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)$ が存在するとき
- $\displaystyle\lim_{x\to{a}}\{f(x)\pm g(x)\}=\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)\pm\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)$ （複合同順）
- $\displaystyle\lim_{x\to{a}}\left\{kf(x)\right\}=k\cdot\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)$
ただし、$k$ は定数とする。 - $\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)g(x)=\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)\cdot\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)$
- $\displaystyle\lim_{x\to{a}}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)}$
ただし、$\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)\neq0$ とする。
この定理を証明するためには、極限の定義をもっと厳密なものにする必要がある。厳密な極限の議論はFTEXT 数学IIIで行う。