累乗と指数法則について

累乗と指数法則について

\FTEXT 数学Iで学んだように， 数$a$の$n$個の積 $ \begin{array}{c} n個 \\ \overbrace{a\times a\times\cdots\times a}^{} \end{array} $ を $a^n$と書き，「$a$の$n$乗」と読む．つまり

\[ \begin{array}{c} \underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{}=a^n \\ n個 \qquad \end{array} \]

である． このとき，$a$の右上に乗っている数$n$のことを$a^n$の指数（index number）という． $a^1 = a$とし，特に，$a^2$のことを$a$の平方（square）， $a^3$のことを$a$の立方（cube）という． また，$a，a^2，a^3，\cdots$を総称して$a$の累乗（power）という．

累乗に関して

1. $a^2\times a^4= \begin{array}{c} \\ \\ (\underbrace{a\times a}_{}) \\ 2個 \end{array} \times \begin{array}{c} \\ \\ (\underbrace{a\times a\times a\times a}_{}) \\ 4個 \end{array} $
   $ =a^6~(=a^{2+4})$
2. $(a^2)^4= \begin{array}{c} \\ \\ (\underbrace{a\times a}_{}) \\ 2個 \end{array} \begin{array}{c} \\ \\ (\underbrace{a\times a}_{}) \\ 2個 \end{array} \begin{array}{c} \\ \\ (\underbrace{a\times a}_{}) \\ 2個 \end{array} \begin{array}{c} \\ \\ (\underbrace{a\times a}_{}) \\ 2個 \end{array} $
   $ =a^8~(=a^{2\times4})$
3. $(a\times b)^4$
   $ =(a\times b)\times(a\times b)\times(a\times b)\times(a\times b)$
   $ =a^4\times b^4$

などの例からわかるように，一般に次のような指数法則（law of exponents）が成り立つ．