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定積分と面積の関係について

今まで見てきたように、baf(x)dx の値は、基本的には a において y=f(x) のグラフと x 軸の囲む面積を表すのだが、a\leqq{x}\leqq{b} において f(x) の値が負の値をとるときには、この表現は正しいとはいえない。以下ではこの点についてまとめておこう。

  1. \boldsymbol{a\leqq{x}\leqq{b}}\boldsymbol{f(x)\geqq0} のとき(基本形)
    iの図
    右図のように a\leqq{x}\leqq{b}y=f(x)x 軸の囲む面積を S とすると S=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}f(x_k)\Delta{x}=\int_{a}^{b}f(x)dx である。
  2. \boldsymbol{a\leqq{x}\leqq{b}}\boldsymbol{f(x)\leqq0} のとき
    iiの図
    右図のように a\leqq{x}\leqq{b}y=f(x)x 軸の囲む面積を S とする。f(x)\leqq{0} なので、n 等分したときの長方形の面積を 0 以上にするため、-f(x) を高さとして計算していく。 \begin{align} S&=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\left\{-f(x_k)\right\}\Delta{x}\\ &=-\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}f(x_k)\Delta{x}\\ &=-\int_{a}^{b}f(x)dx \end{align} である。\int_{a}^{b}f(x)dxS ではなく -S、いわば「負の面積」を表すといえる。
  3. \boldsymbol{a\leqq{x}\leqq{b}}\boldsymbol{f(x)\geqq0}\boldsymbol{b\leqq{x}\leqq{c}}\boldsymbol{f(x)\leqq0} のとき
    iiiの図
    右図のように a\leqq{x}\leqq{b}y=f(x)x 軸の囲む面積を S_1b\leqq{x}\leqq{c}y=f(x)x 軸の囲む面積を S_2 とすると、それぞれの面積は積分区間を分割して考えることにより \begin{align} S_1+S_2 &=\int_{a}^{b}f(x)dx\\ &\qquad+\left(-\int_{b}^{c}f(x)dx\right) \end{align} である。
特に、iii において \begin{align} \int_{a}^{c}f(x)dx&=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{b}^{c}f(x)dx\\&=S_1-S_2 \end{align} であることに注意しよう。

定義を利用した定積分の計算

次の値を求めよ。

  1. \displaystyle\int_{0}^{1}xdx
  2. \displaystyle\int_{0}^{1}x^2dx
  3. \displaystyle\int_{1}^{2}x^2dx
  4. \displaystyle\int_{0}^{1}x^3dx

  1. f(x)=x とおき、積分区間 0\leqq{x}\leqq1n 等分して幅 \Delta{x}=\dfrac{1}{n} の区間に分け、各区間の境界の x 座標をを左から x_0,~x_1,~\cdots,~x_{n} とおく。座標 x_k は、x_k=k\cdot\dfrac{1}{n} となるので
    1の図
    \begin{align} &\sum_{k=1}^{n}f(x_k)\Delta{x}\\ &=\sum_{k=1}^{n}x_k\cdot\dfrac{1}{n}\\ &=\sum_{k=1}^{n}\left(k\cdot\dfrac{1}{n}\right)\cdot\dfrac{1}{n}\\ &=\dfrac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n}k\\ &=\dfrac{1}{n^2}\cdot\dfrac{n(n+1)}{2}\\ &=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\\ &\to\boldsymbol{\dfrac{1}{2}}~~(n\to\infty) \end{align}
  2. f(x)=x^2 とおき、積分区間 0\leqq{x}\leqq1n 等分して幅 \Delta{x}=\dfrac{1}{n} の区間に分け、各区間の境界の x 座標を左から x_0,~x_1,~\cdots,~x_{n} とおく。座標 x_k は、x_k=k\cdot\dfrac{1}{n} となるので
    2の図
    \begin{align} &\sum_{k=1}^{n}f(x_k)\Delta{x}\\ &=\sum_{k=1}^{n}{x_k}^2\cdot\dfrac{1}{n}\\ &=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{k^2}{n^2}\cdot\dfrac{1}{n}\\ &=\dfrac{1}{n^3}\sum_{k=1}^{n}k^2\\ &=\dfrac{1}{n^3}\cdot\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\ &=\dfrac{1}{6}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\left(2+\dfrac{1}{n}\right)\\ &\to\boldsymbol{\dfrac{1}{3}}~~(n\to\infty) \end{align}
  3. f(x)=x^2 とおき、積分区間 1\leqq{x}\leqq2n 等分して幅 \Delta{x}=\dfrac{1}{n} の区間に分け、各区間の境界の x 座標を左から x_0,~x_1,~\cdots,~x_{n} とおく。座標 x_k は、x_k=1+k\cdot\dfrac{1}{n} となるので
    3の図
    \begin{align} &\sum_{k=1}^{n}f(x_k)\Delta{x}\\ &=\sum_{k=1}^{n}\left(1+k\cdot\dfrac{1}{n}\right)^2\cdot\dfrac{1}{n}\\ &=\sum_{k=1}^{n}\left(1+\dfrac{2k}{n}+\dfrac{k^2}{n^2}\right)\cdot\dfrac{1}{n}\\ &=\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}+\dfrac{2}{n^2}\sum_{k=1}^{n}k+\dfrac{1}{n^3}\sum_{k=1}^{n}k^2\\ &=\dfrac{1}{n}\cdot{n}+\dfrac{2}{n^2}\cdot\dfrac{n(n+1)}{2}\\ &\qquad+\dfrac{1}{n^3}\cdot\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\ &=1+\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\\ &\qquad+\dfrac{1}{6}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\left(2+\dfrac{1}{n}\right)\\ &\to1+1+\dfrac{1}{6}\cdot2~~(n\to\infty)\\ &=\boldsymbol{\dfrac{7}{3}} \end{align} 【別解:2を利用する方法】

    \displaystyle\int_{1}^{2}x^2{dx}=\displaystyle\int_{0}^{2}x^2{dx}-\overbrace{\int_{0}^{1}x^2{dx}}^{2の結果} の利用を考える。

    f(x)=x^2 とおき、積分区間 0\leqq{x}\leqq2n 等分して幅 \Delta{x}=\dfrac{2}{n} の区間に分け、各区間の境界の x 座標を左から x_0,~x_1,~\cdots,~x_{n} とおく。座標 x_k は、x_k=k\cdot\dfrac{2}{n} となるので \begin{align} &\sum_{k=1}^{n}f(x_k)\Delta{x}\\ &=\sum_{k=1}^{n}{x_k}^2\cdot\dfrac{2}{n}\\ &=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{4k^2}{n^2}\cdot\dfrac{2}{n}\\ &=\dfrac{8}{n^3}\sum_{k=1}^{n}k^2\\ &=\dfrac{8}{n^3}\cdot\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\ &=\dfrac{4}{3}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\left(2+\dfrac{1}{n}\right)\\ &\to\dfrac{8}{3}~~(n\to\infty) \end{align} よって、\displaystyle\int_{1}^{2}x^2dx=\dfrac{8}{3}-\dfrac{1}{3}=\boldsymbol{\dfrac{7}{3}}

  4. f(x)=x^3 とおき、積分区間 0\leqq{x}\leqq1n 等分して幅 \Delta{x}=\dfrac{1}{n} の区間に分け、各区間の境界の x 座標を左から x_0,~x_1,~\cdots,~x_{n} とおく。座標 x_k は、x_k=k\cdot\dfrac{1}{n} となるので
    4の図
    \begin{align} &\sum_{k=1}^{n}f(x_k)\Delta{x}\\ &=\sum_{k=1}^{n}{x_k}^3\cdot\dfrac{1}{n}\\ &=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{k^3}{n^3}\cdot\dfrac{1}{n}\\ &=\dfrac{1}{n^4}\sum_{k=1}^{n}k^3\\ &=\dfrac{1}{n^4}\cdot\left\{\dfrac{n(n+1)}{2}\right\}^2\\ &=\dfrac{1}{4}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^2\\ &\to\boldsymbol{\dfrac{1}{4}}~~(n\to\infty) \end{align}