対称式の基本定理

証明は高校の程度を越えるが，一般に次のことが知られている．

対象式の基本定理

すべての対称式は，基本対称式の和，差，積，商の組合せで表すことができる．

対象式を基本対象式の組み合わせで表す

$x + y = A，xy = B$ とするとき，次の各式を $A，B$ を用いて表せ．

  1. $x^2+y^2$
  2. $x^3+y^3+x+y$
  3. $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$
  4. $\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}$

  1. $ x^2+y^2$

    $=(x+y)^2-2xy$

    $=\boldsymbol{A^2-2B}$

  2. $x^3+y^3+x+y$

    $=(x+y)^3-3xy(x+y)+(x+y)$

    　　　　　　 $\blacktriangleleft x^3 + y^3 = (x + y)^3 − 3xy(x + y)$ を利用した

    　 $=\boldsymbol{A^3-3AB+A}$

  3. $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$

    $=\dfrac{y}{xy}+\dfrac{x}{xy}$

    　　　　　 $\blacktriangleleft$ 通分した

    $=\dfrac{x+y}{xy}$

    $=\boldsymbol{\dfrac{A}{B}}$

  4. $\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}$

    $=\dfrac{y^2}{xy}+\dfrac{x^2}{xy}$ 　　　　　　 $\blacktriangleleft$ 通分した

    $=\dfrac{x^2+y^2}{xy}$ 　　　　　　 $\blacktriangleleft$ (1)が使える形にした $=\boldsymbol{\dfrac{A^2-2B}{B}}$