極限の考え方の基本~例2~
では、その例として、g(x)=x2−1x−1 において lim がいくつになるのか考えてみよう。
たとえば x を 0.9 からスタートして、0.99,0.999,0.9999,\cdots と 1 に近づけていくと \begin{align} g(0.9)&=\dfrac{0.9^2-1}{0.9-1}\\ &=\dfrac{(0.9-1)(0.9+1)}{0.9-1}=1.9\\ g(0.99)&=\dfrac{0.99^2-1}{0.99-1}\\ &=\dfrac{(0.99-1)(0.99+1)}{0.99-1}=1.99\\ g(0.999)&=\dfrac{0.999^2-1}{0.999-1}\\ &=\dfrac{(0.999-1)(0.999+1)}{0.999-1}\\ &=1.999\\ g(0.9999)&=\dfrac{0.9999^2-1}{0.9999-1}\\ &=\dfrac{(0.9999-1)(0.9999+1)}{0.9999-1}\\ &=1.9999 \end{align} と計算できるので、次の表のようにまとめられる。
x | 0.9 | 0.99 | 0.999 | 0.9999 | \cdots | |
f(x) | 1.9 | 1.99 | 1.999 | 1.9999 | \cdots |
また、x を 1.5 からスタートして、1.25,1.125,1.0625,\cdots と、距離を半分ずつつめながら 1 に近づけていくと \begin{align} g(1.5)&=\dfrac{1.5^2-1}{1.5-1}\\ &=\dfrac{(1.5-1)(1.5+1)}{1.5-1}=2.5\\ g(1.25)&=\dfrac{1.25^2-1}{1.25-1}\\ &=\dfrac{(1.25-1)(1.25+1)}{1.25-1}=2.25\\ g(1.125)&=\dfrac{1.125^2-1}{1.125-1}\\ &=\dfrac{(1.125-1)(1.125+1)}{1.125-1}\\ &=2.125\\ g(1.0625)&=\dfrac{1.0625^2-1}{1.0625-1}\\ &=\dfrac{(1.0625-1)(1.0625+1)}{1.0625-1}\\ &=2.0625\\ &\qquad\vdots \end{align} と計算できるので、次の表のようにまとめられる。
x | 1.5 | 1.25 | 1.125 | 1.0625 | \cdots | |
f(x) | 2.5 | 2.25 | 2.125 | 2.0625 | \cdots |
上の2つの計算では、g(x) の x に値を代入してから約分して計算したが、x\neq1 であるかぎり g(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1 であるから、このように先に約分してから x に値を代入する方が楽になる。
いま、g(x) の値は x=1 では(分母が 0 になるので)定義されないが、\displaystyle\lim_{x\to1}g(x) は 2 として存在する、つまり \underbrace{\displaystyle\lim_{x\to1}g(x)}_{この値は2}\neq\underbrace{g(1)}_{存在してない!} であることに注意しよう。
極限の考え方

このことを、グラフで考えてみる。g(x) は x\neq1 で g(x)=x+1 と書けるので、y=g(x) のグラフは図のようになり、x=a で g(x) が存在しなくても、 \displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x) は存在することがある。