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極限の考え方の基本~例2~

では、その例として、g(x)=x21x1 において lim がいくつになるのか考えてみよう。

たとえば x0.9 からスタートして、0.99,0.999,0.9999,\cdots1 に近づけていくと \begin{align} g(0.9)&=\dfrac{0.9^2-1}{0.9-1}\\ &=\dfrac{(0.9-1)(0.9+1)}{0.9-1}=1.9\\ g(0.99)&=\dfrac{0.99^2-1}{0.99-1}\\ &=\dfrac{(0.99-1)(0.99+1)}{0.99-1}=1.99\\ g(0.999)&=\dfrac{0.999^2-1}{0.999-1}\\ &=\dfrac{(0.999-1)(0.999+1)}{0.999-1}\\ &=1.999\\ g(0.9999)&=\dfrac{0.9999^2-1}{0.9999-1}\\ &=\dfrac{(0.9999-1)(0.9999+1)}{0.9999-1}\\ &=1.9999 \end{align} と計算できるので、次の表のようにまとめられる。

x0.90.990.9990.9999\cdots
f(x)1.91.991.9991.9999\cdots
この表を右に続けていく、つまり x1 に近づけていくと、g(x) の値は 2 に近づいていくことがわかる。

また、x1.5 からスタートして、1.25,1.125,1.0625,\cdots と、距離を半分ずつつめながら 1 に近づけていくと \begin{align} g(1.5)&=\dfrac{1.5^2-1}{1.5-1}\\ &=\dfrac{(1.5-1)(1.5+1)}{1.5-1}=2.5\\ g(1.25)&=\dfrac{1.25^2-1}{1.25-1}\\ &=\dfrac{(1.25-1)(1.25+1)}{1.25-1}=2.25\\ g(1.125)&=\dfrac{1.125^2-1}{1.125-1}\\ &=\dfrac{(1.125-1)(1.125+1)}{1.125-1}\\ &=2.125\\ g(1.0625)&=\dfrac{1.0625^2-1}{1.0625-1}\\ &=\dfrac{(1.0625-1)(1.0625+1)}{1.0625-1}\\ &=2.0625\\ &\qquad\vdots \end{align} と計算できるので、次の表のようにまとめられる。

x1.51.251.1251.0625\cdots
f(x)2.52.252.1252.0625\cdots
この表からも、x1 に近づけると、g(x)2 に近づくことがわかる。つまり \lim_{x\to1}~g(x)=2 であるといえる。

上の2つの計算では、g(x)x に値を代入してから約分して計算したが、x\neq1 であるかぎり g(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1 であるから、このように先に約分してから x に値を代入する方が楽になる。

いま、g(x) の値は x=1 では(分母が 0 になるので)定義されないが、\displaystyle\lim_{x\to1}g(x)2 として存在する、つまり \underbrace{\displaystyle\lim_{x\to1}g(x)}_{この値は2}\neq\underbrace{g(1)}_{存在してない!} であることに注意しよう。

極限の考え方

極限の考え方

このことを、グラフで考えてみる。g(x)x\neq1g(x)=x+1 と書けるので、y=g(x) のグラフは図のようになり、x=ag(x) が存在しなくても、 \displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x) は存在することがある。