極限の考え方の基本～例1～
ここで、例として $f(x)=2x+1$ において $\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)$ がいくつになるのか考えてみよう。
たとえば、$x$ を $0.9$ からスタートして、$0.99,0.999,0.9999,\cdots$ と $1$ に近づけていくと \begin{align} &f(0.9)=2\times0.9+1=2.8\\ &f(0.99)=2\times0.99+1=2.98\\ &f(0.999)=2\times0.999+1=2.998\\ &f(0.9999)=2\times0.9999+1=2.9998 \end{align} と計算できるので、次の表のようにまとめられる。
| $x$ | $0.9$ | $0.99$ | $0.999$ | $0.9999$ | $\cdots$ | |
| $f(x)$ | $2.8$ | $2.98$ | $2.998$ | $2.9998$ | $\cdots$ |
また、$x$ を $1.5$ からスタートして、$1.25,1.125,1.0625,\cdots$ と、距離を半分ずつつめながら $1$ に近づけていくと \begin{align} &f(1.5)=2\times1.5+1=4\\ &f(1.25)=2\times1.25+1=3.5\\ &f(1.125)=2\times1.125+1=3.25\\ &f(1.0625)=2\times1.0625+1=3.125 \end{align} と計算できるので、次の表のようにまとめられる。
| $x$ | $1.5$ | $1.25$ | $1.125$ | $1.0625$ | $\cdots$ | |
| $f(x)$ | $4$ | $3.5$ | $3.25$ | $3.125$ | $\cdots$ |
以上2つの例からわかるように $\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=3$ であるといえる。
この結果は、図の $y=f(x)$ のグラフから明らかであろう。
また、ここで $f(1)=3$ であるから、結果として \[\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=f(1)\] となっていることがわかる。
一般に、この $f(x)=2x+1$ のように、$y=f(x)$ のグラフが $x=a$ で途切れていないとき、$\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)$ の値は \[\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)=f(a)\tag{1}\label{kyokugennokangaekatanokihonrei1}\] となる。このことを知っていれば、上で調べたようにわざわざ表を作って考察しなくても、すぐに極限値を求めることができる。
極限の考え方
しかし、次の例のように、関数 $y=f(x)$ のグラフの形がすぐにはわからないようなときには、グラフが途切れている可能性が あるので、極限値を求めるのに注意を要する。