多項式の除法について

整数の除法に続き，今度は多項式の除法(polynomial division)について考えてみる．

たとえば，「$x^3 – x^2 + 2x – 3$を$x^2 + 2x – 1$で割る」とは

\begin{align} &x^3-x^2+2x-3\\ =&(x^2+2x-1)Q(x)+r(x) \end{align}

と変形することであると定義する． ただし，このとき$Q(x)，r(x)$は共に$x$の多項式であり，$deg(x^2 + 2x − 1) \gt deg \ r(x)$であるとする． この結果の$Q(x)$と$r(x)$をそれぞれ， 多項式の除法における商(quotient)と 余り(remainder)と呼ぶ．

多項式の除法

多項式$f(x)，g(x)$において

\begin{align} &f(x)=g(x)Q(x)+r(x)\\ &\qquad\left(\deg \ r(x) \lt \deg \ g(x)\right) \end{align}

と変形できたとき，$Q(x)$を商，$r(x)$を余りという．

特に，余り$r(x)$が$0$のとき，$f(x)$は$g(x)$で割り切れるという．

さきほどの例では，商$Q(x)$は$x – 3$，余り$r(x)$は$9x – 6$となる．つまり

\begin{align} &x^3-x^2+2x-3\\ =&(x^2+2x-1)\times(x-3)+(9x-6) \end{align}

となる．各自，以下の2点について確認しておこう．

  1. 上の式の右辺を展開すると左辺と等しいこと
  2. $x^2 + 2x – 1$の次数が余り$9x – 6$の次数より大きいこと

以下では，多項式の除法の計算方法についてみていく．