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積和の公式

積和の公式

加法定理を組み合わせることにより，次のような公式が得られる．

三角関数の積を和に変換する公式

  1. sinαcosβ=12{sin(α+β)+sin(α−β)}
  2. cosαsinβ=12{sin(α+β)−sin(α−β)}
  3. cosαcosβ=12{cos(α+β)+cos(α−β)}
  4. sinαsinβ
    =−12{cos(α+β)−cos(α−β)}

【証明】

  1. 正弦についての加法定理

    sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

    sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ

    において，(1)+(2)より

    sin(α+β)+sin(α−β)=2sinαcosβ⇔ sinαcosβ=12{sin(α+β)+sin(α−β)}

  2. 同じく(1)−(2)より

    sin(α+β)−sin(α−β)=2cosαsinβ⇔ cosαsinβ=12{sin(α+β)−sin(α−β)}

暗記積和の公式の導出

次の等式を証明せよ．

  1. cosαcosβ=12{cos(α+β)+cos(α−β)}
  2. sinαsinβ
    =−12{cos(α+β)−cos(α−β)}

  1. 余弦についての加法定理

    cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ

    cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ

    において，(3)+(4)より

    cos(α+β)+cos(α−β)=2cosαcosβ⇔ cosαcosβ=12{cos(α+β)+cos(α−β)}

  2. 同じく(3)−(4)より

    cos(α+β)−cos(α−β)=−2sinαsinβ⇔ sinαsinβ=−12{cos(α+β)−cos(α−β)}

吹き出し積和の公式

この公式は，三角関数の積を三角関数の和で書き換えるという意味があり， 三角関数の次数を下げる効果がある． FTEXT 数学IIIで学ぶ三角関数の積分法などでよくもちいられる．