積和の公式

積和の公式

加法定理を組み合わせることにより，次のような公式が得られる．

三角関数の積を和に変換する公式

  1. $\sin\alpha \cos\beta=\dfrac12\left\{\sin(\alpha +\beta) +\sin(\alpha -\beta)\right\}$
  2. $\cos\alpha \sin\beta=\dfrac12\left\{\sin(\alpha +\beta) -\sin(\alpha -\beta)\right\}$
  3. $\cos\alpha \cos\beta=\dfrac12\left\{\cos(\alpha +\beta) +\cos(\alpha -\beta)\right\}$
  4. $\sin\alpha \sin\beta$
    $=-\dfrac12\left\{\cos(\alpha +\beta) -\cos(\alpha -\beta)\right\}$

【証明】

  1. 正弦についての加法定理

    $\sin(\alpha +\beta)=\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$ $\tag{1}\label{sekiwanokoushiki1}$

    $\sin(\alpha -\beta)=\sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$ $\tag{2}\label{sekiwanokoushiki2}$

    において，$\eqref{sekiwanokoushiki1}+\eqref{sekiwanokoushiki2}$より

    \begin{align} &\sin(\alpha +\beta) +\sin(\alpha -\beta)\\ &= 2\sin\alpha \cos\beta\\ \Leftrightarrow~&\sin\alpha \cos\beta \\ &=\dfrac12\left\{\sin(\alpha +\beta) +\sin(\alpha -\beta)\right\} \end{align}

  2. 同じく$\eqref{sekiwanokoushiki1}-\eqref{sekiwanokoushiki2}$より

    \begin{align} &\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\\ &=2\cos\alpha\sin\beta\\ \Leftrightarrow~&\cos\alpha\sin\beta\\ &=\dfrac12\left\{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\right\} \end{align}

暗記積和の公式の導出

次の等式を証明せよ．

  1. $\cos\alpha\cos\beta=\dfrac12\left\{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\right\}$
  2. $\sin\alpha\sin\beta$
    $=-\dfrac12\left\{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\right\}$

  1. 余弦についての加法定理

    $\cos(\alpha +\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$ $\tag{3}\label{sekiwanokoushikinodoushutunokaitou1}$

    $\cos(\alpha -\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$ $\tag{4}\label{sekiwanokoushikinodoushutunokaitou2}$

    において，$\eqref{sekiwanokoushikinodoushutunokaitou1}+\eqref{sekiwanokoushikinodoushutunokaitou2}$より

    \begin{align} &\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\\ &=2\cos\alpha\cos\beta\\ \Leftrightarrow~&\cos\alpha\cos\beta\\ &=\dfrac12\left\{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha -\beta)\right\} \end{align}

  2. 同じく$\eqref{sekiwanokoushikinodoushutunokaitou1}-\eqref{sekiwanokoushikinodoushutunokaitou2}$より

    \begin{align} &\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\\ &=-2\sin\alpha\sin\beta\\ \Leftrightarrow~&\sin\alpha\sin\beta\\ &=-\dfrac12\left\{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\right\} \end{align}

吹き出し積和の公式

この公式は，三角関数の積を三角関数の和で書き換えるという意味があり， 三角関数の次数を下げる効果がある． FTEXT 数学IIIで学ぶ三角関数の積分法などでよくもちいられる．