三角関数の和と積の公式

積和の公式

積和の公式

加法定理を組み合わせることにより，次のような公式が得られる．

三角関数の積を和に変換する公式

  1. $\sin\alpha \cos\beta=\dfrac12\left\{\sin(\alpha +\beta) +\sin(\alpha -\beta)\right\}$
  2. $\cos\alpha \sin\beta=\dfrac12\left\{\sin(\alpha +\beta) -\sin(\alpha -\beta)\right\}$
  3. $\cos\alpha \cos\beta=\dfrac12\left\{\cos(\alpha +\beta) +\cos(\alpha -\beta)\right\}$
  4. $\sin\alpha \sin\beta$
    $=-\dfrac12\left\{\cos(\alpha +\beta) -\cos(\alpha -\beta)\right\}$

【証明】

  1. 正弦についての加法定理

    $\sin(\alpha +\beta)=\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$ $\tag{1}\label{sekiwanokoushiki1}$

    $\sin(\alpha -\beta)=\sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$ $\tag{2}\label{sekiwanokoushiki2}$

    において，$\eqref{sekiwanokoushiki1}+\eqref{sekiwanokoushiki2}$より

    \begin{align} &\sin(\alpha +\beta) +\sin(\alpha -\beta)\\ &= 2\sin\alpha \cos\beta\\ \Leftrightarrow~&\sin\alpha \cos\beta \\ &=\dfrac12\left\{\sin(\alpha +\beta) +\sin(\alpha -\beta)\right\} \end{align}

  2. 同じく$\eqref{sekiwanokoushiki1}-\eqref{sekiwanokoushiki2}$より

    \begin{align} &\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\\ &=2\cos\alpha\sin\beta\\ \Leftrightarrow~&\cos\alpha\sin\beta\\ &=\dfrac12\left\{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\right\} \end{align}

暗記積和の公式の導出

次の等式を証明せよ．

  1. $\cos\alpha\cos\beta=\dfrac12\left\{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\right\}$
  2. $\sin\alpha\sin\beta$
    $=-\dfrac12\left\{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\right\}$

  1. 余弦についての加法定理

    $\cos(\alpha +\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$ $\tag{3}\label{sekiwanokoushikinodoushutunokaitou1}$

    $\cos(\alpha -\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$ $\tag{4}\label{sekiwanokoushikinodoushutunokaitou2}$

    において，$\eqref{sekiwanokoushikinodoushutunokaitou1}+\eqref{sekiwanokoushikinodoushutunokaitou2}$より

    \begin{align} &\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\\ &=2\cos\alpha\cos\beta\\ \Leftrightarrow~&\cos\alpha\cos\beta\\ &=\dfrac12\left\{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha -\beta)\right\} \end{align}

  2. 同じく$\eqref{sekiwanokoushikinodoushutunokaitou1}-\eqref{sekiwanokoushikinodoushutunokaitou2}$より

    \begin{align} &\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\\ &=-2\sin\alpha\sin\beta\\ \Leftrightarrow~&\sin\alpha\sin\beta\\ &=-\dfrac12\left\{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\right\} \end{align}

吹き出し積和の公式

この公式は，三角関数の積を三角関数の和で書き換えるという意味があり， 三角関数の次数を下げる効果がある． FTEXT 数学IIIで学ぶ三角関数の積分法などでよくもちいられる．

和積の公式

和積の公式

三角関数の積を和に変換する公式について

$\alpha+\beta=A$ $\tag{1}\label{wasekinokoushiki1}$

$\alpha-\beta=B$ $\tag{2}\label{wasekinokoushiki2}$

とおくと，$(\eqref{wasekinokoushiki1}+\eqref{wasekinokoushiki2})\div 2$より$\alpha=\dfrac{A+B}{2}$，$(\eqref{wasekinokoushiki1}-\eqref{wasekinokoushiki2})\div 2$より$\beta=\dfrac{A-B}{2}$であるから， 次の公式を得る．

三角関数の和を積に変換する公式

  1. $\sin{A} +\sin{B}=2\sin\dfrac{A+B}{2} \cos\dfrac{A-B}{2}$
  2. $\sin{A} -\sin{B}=2\cos\dfrac{A+B}{2} \sin\dfrac{A-B}{2}$
  3. $\cos{A} +\cos{B}=2\cos\dfrac{A+B}{2} \cos\dfrac{A-B}{2}$
  4. $\cos{A} -\cos{B}=-2\sin\dfrac{A+B}{2} \sin\dfrac{A-B}{2}$

吹き出し和積の公式

和を積に変換する公式には，因数分解のような効果があるため， 三角関数を含む方程式・不等式を解く際にもちいられることが多い．

三角関数を含む方程式・不等式〜その4〜

  1. $0\leqq x < 2\pi$のとき，方程式$\sin 4x +\sin 3x +\sin 2x +\sin x=0$を解け．
  2. $0\leqq x < 2\pi$のとき，不等式$\cos x -\cos 2x +\cos 3x <\cos 4x$を解け．

  1. \[\sin 4x +\sin 3x +\sin 2x +\sin x=0\]

    ←$4x-2x=3x-x$に着目．

    $4x+x =3x+2x$や$4x-3x=2x-x$に着目しても共通因数を作れるが，分数が出てきて煩雑である．

    \[\Leftrightarrow~(\sin 4x +\sin 2x) +(\sin 3x +\sin x)=0\] \[\Leftrightarrow~2\sin\dfrac{4x+2x}{2} \cos\dfrac{4x-2x}{2}\] \[+2\sin\dfrac{3x+x}{2} \cos\dfrac{3x-x}{2}=0\]

    ←三角関数の和を積に変換する公式

    \[\Leftrightarrow~2\left(\sin{3x} \cos{x} + \sin{2x} \cos{x}\right)=0\]

    ←共通因数$\cos x$ができた

    \[\Leftrightarrow~\left(\sin{3x} +\sin{2x}\right)\cos{x}=0\] \[\Leftrightarrow~\left(2\sin\dfrac{3x +2x}{2} \cos\dfrac{3x -2x}{2}\right)\cos{x}=0\]

    ←三角関数の和を積に変換する公式

    \[\Leftrightarrow~\sin\dfrac{5}{2}x\cos\dfrac{x}{2} \cos{x}=0\] \[\Leftrightarrow~\sin\dfrac{5}{2}x=0,~\cos\dfrac{x}{2}=0,~\cos{x}=0\]

    それぞれの方程式を解くと

    $0\leqq \dfrac{5}{2}x<5\pi$より

    \begin{align} &\sin\dfrac{5}{2}x=0\\ \Leftrightarrow~&\dfrac{5}{2}x=0,~\pi,~2\pi,~3\pi,4\pi\\ \Leftrightarrow~&x=\dfrac{2}{5}\pi,~\dfrac{4}{5}\pi,~\dfrac{6}{5}\pi,~\dfrac{8}{5}\pi \end{align}

    $0\leqq \dfrac{x}{2}<\pi$より

    \begin{align} \cos\dfrac{x}{2}=0~&\Leftrightarrow~\dfrac{x}{2}=\dfrac{\pi}{2}\\ &\Leftrightarrow~x=\pi \end{align}

    $0\leqq x<2\pi$より

    \begin{align} \cos{x}=0~\Leftrightarrow~x=\dfrac{\pi}{2},~\dfrac{3}{2}\pi \end{align}

    よって，$\boldsymbol{x=\dfrac25\pi,~\dfrac12\pi,~\dfrac45\pi,~\pi,}$
    $\boldsymbol{~\dfrac65\pi,~\dfrac32\pi,~\dfrac85\pi}$．

  2. \[\cos x -\cos 2x +\cos 3x<\cos 4x\]

    ←$3x-x=4x-2x$に着目．

    $4x+x =3x+2x$や$4x-3x=2x-x$に着目しても共通因数を作れるが，分数が出てきて煩雑である．

    \[\Leftrightarrow~\cos 3x +\cos x <\cos 4x+\cos 2x\] \[\Leftrightarrow~2\cos\dfrac{3x+x}{2} \sin\dfrac{3x-x}{2}\] \[<\cos\dfrac{4x+2x}{2} \cos\dfrac{4x-2x}{2}\]

    ←三角関数の和を積に変換する公式

    \[\Leftrightarrow~ \cos{2x} \cos{x} <\cos{3x} \cos{x}\]

    ←共通因数$\cos x$ができた

    \[\Leftrightarrow~(\cos{3x} -\cos{2x})\cos{x}>0\] \[\Leftrightarrow~\left(-2\sin\dfrac{3x +2x}{2} \sin\dfrac{3x -2x}{2}\right) \cos{x}\] \[>0\]

    ←三角関数の和を積に変換する公式

    \[\Leftrightarrow~\sin\dfrac{5}{2}x \sin\dfrac{x}{2} \cos{x}<0\] $\tag{1}\label{sankakukansuuwohukumuhouteishikihutoushikisono4nokaitou1}$

    ここで，$0\leqq \dfrac{x}{2}<\pi$より$\sin\dfrac{x}{2}\geqq 0$である．

    1. $\sin\dfrac{x}{2}=0$，つまり，$x=0,~2\pi$のとき$\eqref{sankakukansuuwohukumuhouteishikihutoushikisono4nokaitou1}$は不適．
    2. $\sin\dfrac{x}{2}>0$より，$\eqref{sankakukansuuwohukumuhouteishikihutoushikisono4nokaitou1}$は$\sin\dfrac{5}{2}x \cos{x}<0$となる．

    $\sin\dfrac52 x>0,~\cos x<0$のとき

    ←$\sin\dfrac52 x>0$を解くと $0<\dfrac52 x<\pi,~2\pi<\dfrac52 x<3\pi,$
    $4\pi<\dfrac52 x<5\pi$

    \begin{cases} 0<\theta<\dfrac25\pi,~ \dfrac45\pi<\theta<\dfrac65\pi,\\ ~\dfrac85\pi<\theta<2\pi\\ \\ \\ \dfrac12\pi<\theta<\dfrac32\pi \end{cases}

    上の式を$\tag{2}\label{sankakukansuuwohukumuhouteishikihutoushikisono4nokaitou2}$，下の式を$\tag{3}\label{sankakukansuuwohukumuhouteishikihutoushikisono4nokaitou3}$とする．

    三角関数を含む方程式・不等式〜その4〜 の解答の図その１

    なので， $\dfrac45\pi \lt x\lt\dfrac65\pi$．

    $\sin\dfrac52 x<0,~\cos x>0$のとき

    ←$\sin\dfrac52 x<0$を解くと $\pi<\dfrac52 x<2\pi,~3\pi<\dfrac52 x<4\pi$

    \begin{cases} \dfrac25\pi<\theta<\dfrac45\pi,~\dfrac65\pi<\theta<\dfrac85\pi\\ 0<\theta<\dfrac12\pi,~\dfrac32\pi<\theta<2\pi \end{cases}

    上の式を$\tag{4}\label{sankakukansuuwohukumuhouteishikihutoushikisono4nokaitou4}$，下の式を$\tag{5}\label{sankakukansuuwohukumuhouteishikihutoushikisono4nokaitou5}$とする．

    三角関数を含む方程式・不等式〜その4〜 の解答の図その２

    なので， $\dfrac25\pi\lt x\lt \dfrac12\pi, ~\dfrac32\pi\lt x\lt \dfrac85 \pi$．

    以上をまとめて

    $\boldsymbol{\dfrac25\pi\lt x\lt \dfrac12\pi, ~\dfrac45\pi \lt x\lt \dfrac65\pi,}$
    $\boldsymbol{~\dfrac32\pi\lt x\lt \dfrac85 \pi}$．