対数の定義について

対数の定義について

ここで，対数の定義をしておこう．

指数関数の定義でみたように，指数関数$y = a^x$のグラフでは，どのような正の実数$M$に対しても

\begin{align} a^x=M \end{align}

となる$x$の値がただ1つ定まる．この値を，$a$を底（base）とする$M$の対数（logarithm）といい

\begin{align} x=\log_a{M} \end{align}

で表す．また，この$M$のことを$\log_aM$の真数（aniti-logarithm）という．

なお，指数関数の定義での$a > 0，a\neq1$という条件は，対数でも同様とする．

対数の定義

$a > 0，a\neq1，M > 0$のとき

\begin{align} a^x=M~\Longleftrightarrow~x=\log_a{M} \end{align}

とする．特に，$\log_aa^x=x$である．

たとえば，$2$を底とする$8$の対数，すなわち$\log_28$は，$2^3 = 8$だから

\begin{align} \log_28=\log_22^3=3 \end{align}

である．また，$3$を底とする$\dfrac{1}{9}$の対数，すなわち$\log_3\dfrac{1}{9}$は，$3^{-2}=\dfrac{1}{9}$だから

\begin{align} \log_3\dfrac{1}{9}=\log_33^{-2}=-2 \end{align}

である．

指数と対数は，瞬時に書き換えられるようにしておかなければならない．「$a$ の$x $乗は$M$」と唱えながら，図のようなイメージで変換できるように練習しよう．

次の等式を$x = \log_aM$の形に書きなおせ．

「$3$の$4$乗は$81$である」は「$4$は$3$を底とする$81$の対数である」ということと同じ．
つまり
\begin{align} 3^4=81~\Longleftrightarrow~\boldsymbol{4=\log_3{81}} \end{align} $\blacktriangleleft$ 対数の定義

「$10$の $− 2$乗は$0.01$である」は「$ − 2$は$10$を底とする$0.01$の対数である」ということと同じ．つまり
\begin{align} 10^{-2}=0.01~\Longleftrightarrow~\boldsymbol{-2=\log_{10}{0.01}} \end{align} $\blacktriangleleft$対数の定義

「$16$の$-\dfrac{1}{4}$乗は$0.5$である」は「$-\dfrac{1}{4}$は$16$を底とする$0.5$の対数である」ということと同じ．つまり
\begin{align} 16^{-\frac{1}{4}}=0.5~\Longleftrightarrow~\boldsymbol{-\dfrac{1}{4}=\log_{16}{0.5}} \end{align} $\blacktriangleleft$対数の定義

次の等式を$a^x = M$の形に書きなおせ．

「$2$は$10$を底とする$100$の対数である」は「$10$の$2$乗は$100$である」ということと同じ．
つまり
\begin{align} 2=\log_{10}100~\Longleftrightarrow~\boldsymbol{10^2=100} \end{align} $\blacktriangleleft$対数の定義

「$\dfrac{1}{3}$は$8を底とする$2の対数である」は「$8$の$\dfrac{1}{3}$乗は$2$である」ということと同じ．つまり
\begin{align} \dfrac{1}{3}=\log_82~\Longleftrightarrow~\boldsymbol{8^\dfrac{1}{3}=2} \end{align} $\blacktriangleleft$対数の定義

「 $− 3$は$5$を底とする$\dfrac{1}{125}$の対数である」は「$5$の $− 3$乗は$\dfrac{1}{125}$である」ということと同じ．つまり
\begin{align} -3=\log_5\dfrac{1}{125}~\Longleftrightarrow~\boldsymbol{5^{-3}=\dfrac{1}{125}} \end{align} $\blacktriangleleft$対数の定義

次の式の値を求めよ．

$\log_464 = x$とおくと
\begin{align} &\log_4{64}=x\\ \Leftrightarrow~&4^x=64\\ \Leftrightarrow~&4^x=4^3 \end{align} $\blacktriangleleft$対数の定義
$\Leftrightarrow~\boldsymbol{x=3}$
【別解】
対数の定義より$\log_4{64}=\log_44^3=\boldsymbol{3}$

$\log_279 = x$とおくと
\begin{align} &\log_{27}9=x\\ \Leftrightarrow~&27^x=9\\ \Leftrightarrow~&3^{3x}=3^2 \end{align} $\blacktriangleleft$対数の定義 \begin{align}\Leftrightarrow~&3x=2\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{x=\dfrac{3}{2}} \end{align}

$\log_{2}\dfrac{1}{\sqrt{2}}=x$とおくと
\begin{align} &\log_{2}\dfrac{1}{\sqrt{2}}=x\\ \Leftrightarrow~&2^x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\ \Leftrightarrow~&2^{x}=2^{-\dfrac{1}{2}} \end{align} $\blacktriangleleft$対数の定義
$\Leftrightarrow~\boldsymbol{x=-\dfrac{1}{2}}$

$\log_{\dfrac{1}{4}}\dfrac{1}{2}=x$とおくと
\begin{align} &\log_{\dfrac{1}{4}}\dfrac{1}{2}=x\\ \Leftrightarrow~&\left(\dfrac{1}{4}\right)^x=\dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow~&\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2x}=\dfrac{1}{2} \end{align} $\blacktriangleleft$対数の定義 \begin{align} \Leftrightarrow~&2x=1\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{x=\dfrac{1}{2}} \end{align}