$2^x=5$となる$x$を求める
$2^x = 5$となる$x$を求める
このように，$y $の値からすぐに$x $の値が求まることもあるが，たとえば$y = 5$として
\begin{align} 2^x=5 \end{align}となる$x$の値は，下の例題でみるように無理数なので，小数や分数で表すことができない．
しかし，図からわかるように，$2^x = 5$となる$x $が存在しているのは確かなので，このxを
\begin{align} \log_2{5} \end{align}と表すことにする ．
吹き出し$2^x=5$となる$x$を求める
「$3$乗したら$5$になる値」は無理数なので，新たに記号を作り$\sqrt[3]{5}$と表した． 同じように「$2^x = 5$となる$x$ の値」も無理数なので，新たに記号を作り$\log_25$と表す．$\log$ という記号を何度か使ってみるまでは，少々違和感を感じるかもしれないが， 慣れの問題であると達観し，落ち着いて取り組もう．
$\log_25$が無理数であることの証明
$\log_25$が無理数であることを証明せよ．
【解答：背理法】
$\log_25$が有理数であると仮定する．$\log_25$は正の数なので，自然数$m，n$をもちいて $\log_25=\dfrac{m}{n}$，すなわち
\begin{align} 2^\frac{m}{n}=5 \end{align}と表せることになる．
しかし，両辺を$n$乗すると
\begin{align} 2^m=5^n \end{align}となり，左辺は偶数，右辺は奇数となるので矛盾する．
よって，$\log_25$は無理数である．