$2^x=5$となる$x$を求める

無題

無題 (注)

$2^x = 5$となる$x$を求める

このように,$y $の値からすぐに$x $の値が求まることもあるが,たとえば$y = 5$として

\begin{align} 2^x=5 \end{align}

となる$x$の値は,下の例題でみるように無理数なので,小数や分数で表すことができない.

しかし,図からわかるように,$2^x = 5$となる$x $が存在しているのは確かなので,このxを

\begin{align} \log_2{5} \end{align}

と表すことにする .

吹き出し$2^x=5$となる$x$を求める

「$3$乗したら$5$になる値」は無理数なので,新たに記号を作り$\sqrt[3]{5}$と表した. 同じように「$2^x = 5$となる$x$ の値」も無理数なので,新たに記号を作り$\log_25$と表す.$\log$ という記号を何度か使ってみるまでは,少々違和感を感じるかもしれないが, 慣れの問題であると達観し,落ち着いて取り組もう.

$\log_25$が無理数であることの証明

$\log_25$が無理数であることを証明せよ.

【解答:背理法】

$\log_25$が有理数であると仮定する.$\log_25$は正の数なので,自然数$m,n$をもちいて $\log_25=\dfrac{m}{n}$,すなわち

\begin{align} 2^\frac{m}{n}=5 \end{align}

と表せることになる.

しかし,両辺を$n$乗すると

\begin{align} 2^m=5^n \end{align}

となり,左辺は偶数,右辺は奇数となるので矛盾する.

よって,$\log_25$は無理数である.