解と係数の関係

2次方程式の解と係数の関係

解と係数の関係

$f(x) = x^2 + ax + b$とし，2次方程式$f(x) = 0$を考える． $f(x) = 0$の2解を$\alpha，\beta$とすると，$f(\alpha) = 0，f(\beta) = 0$なので，$ f (x)$は$x − \alpha$および$x − \beta$を因数にもつのがわかるので

\begin{align} \left(f(x)=\right)x^2+ax+b=(x-\alpha)(x-\beta) \end{align} とおける．

$(x − \alpha)(x − \beta)$を展開すると$x^2 − (\alpha + \beta)x + \alpha\beta$であり

\begin{align} x^2+ax+b=x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta \end{align}

これらは多項式として等しいので，両辺の係数を比較して

\begin{align} &\begin{cases} a=-(\alpha+\beta)\\ b=\alpha\beta \end{cases} \Leftrightarrow~ \begin{cases} \alpha+\beta=-a\\ \alpha\beta=b \end{cases} \end{align}

が成り立つ．

2次方程式の解と係数の関係

2次方程式$x^2 + ax + b = 0$の2解を$\alpha，\beta$とすると

\begin{align} \begin{cases} \alpha+\beta=-a\\ \alpha\beta=b \end{cases} \end{align}

が成り立つ．

吹き出し2次方程式の解と係数の関係

$x^2$の係数が$1$でないときでも，その値で方程式全体を割ることにより，$ x^2$の係数が$1$である方程式に変え考えることができる．

\begin{align} ax^2+bx+c=0~\Leftrightarrow~x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0 \end{align}

これより，$ax^2 + bx + c = 0$の2解を$\alpha，\beta$とすると

\begin{align} \begin{cases} \alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}\\ \alpha\beta=\dfrac{c}{a} \end{cases} \end{align}

とわかる．

2次方程式の解と係数の関係

次の2次方程式の2解を$\alpha，\beta$とする．$\alpha + \beta$および$\alpha\beta$の値を求めよ．

  1. $x^2-5x+7=0$
  2. $3x^2+8x-6=0$

  1. 2次方程式の解と係数の関係から

    \begin{align} &\alpha+\beta=\boldsymbol{5}\\ &\alpha\beta=\boldsymbol{7} \end{align}

  2. 式全体を$3$で割り，$x^2+\dfrac{8}{3}x-2=0$．2次方程式の解と係数の関係から

    \begin{align} &\alpha+\beta=\boldsymbol{-\dfrac{8}{3}}\\ &\alpha\beta=\boldsymbol{-2} \end{align}

2次方程式の解と係数の関係の利用

2次方程式$2x^2 − 6x + 7 = 0$の2解を$\alpha，\beta$とするとき，次の式の値を求めよ．

  1. $\alpha^2+\beta^2$
  2. $(\alpha-2)(\beta-2)$
  3. $\dfrac{1}{\alpha^2}+\dfrac{1}{\beta^2}$
  4. $\alpha^3+\beta^3$
  5. $\alpha^4+\beta^4$
  6. $\alpha^5+\beta^5$

2次方程式の解と係数の関係より

\begin{align} \alpha+\beta=3~,~~\alpha\beta=\dfrac{7}{2} \end{align}

$\tag{1}\label{2zihouteisikinokaitokeisuunokannkei}$

である．

  1. \begin{align} &\alpha^2+\beta^2\\ &=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\end{align} $\blacktriangleleft$対称式は基本対称式の組合せであらわすことができる対称式の定理 \begin{align} =3^2-2\cdot\dfrac{7}{2}\\ =9-7=\boldsymbol{2} \end{align} $\blacktriangleleft\eqref{2zihouteisikinokaitokeisuunokannkei}$を使った
  2. \begin{align} &(\alpha-2)(\beta-2) \\ &=\alpha\beta-2(\alpha+\beta)+4 \end{align} $\blacktriangleleft$対称式は基本対称式の組合せであらわすことができる対称式の定理 \begin{align} &=\dfrac{7}{2}-2\cdot 3+4\\ &=\boldsymbol{\dfrac{3}{2}} \end{align} $\blacktriangleleft\eqref{2zihouteisikinokaitokeisuunokannkei}$を使った

    【別解】 $2x^2 − 6x + 7 = 2(x − \alpha)(x − \beta)$の両辺に$x = 2$を代入すると

    \begin{align} &3=2(2-\alpha)(2-\beta)\\ \Leftrightarrow~&(\alpha-2)(\beta-2)=\boldsymbol{\dfrac{3}{2}} \end{align}
  3. \begin{align} &\dfrac{1}{\alpha^2}+\dfrac{1}{\beta^2}\\ &=\dfrac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha^2\beta^2}\end{align}　　　$\blacktriangleleft$対称式は基本対称式の組合せであらわすことができる対称式の定理 \begin{align}&=\dfrac{2}{\left(\dfrac{7}{2}\right)^2}\\ &=\boldsymbol{\dfrac{8}{49}} \end{align} $\blacktriangleleft$1.と$\eqref{2zihouteisikinokaitokeisuunokannkei}$を使った
  4. \begin{align} &\alpha^3+\beta^3\\ &=(\alpha+\beta)(\alpha^2-\alpha\beta+\beta^2) \end{align} $\blacktriangleleft$対称式は基本対称式の組合せであらわすことができる対称式の定理 \begin{align} &=3\left(2-\dfrac{7}{2}\right) \\ &=\boldsymbol{-\dfrac{9}{2}} \end{align} $\blacktriangleleft$1.と$\eqref{2zihouteisikinokaitokeisuunokannkei}$を使った
  5. \begin{align} &\alpha^4+\beta^4\\ &=(\alpha^2+\beta^2)^2-2\alpha^2\beta^2 \end{align} $\blacktriangleleft$対称式は基本対称式の組合せであらわすことができる対称式の定理 \begin{align} &=2^2-2\left(\dfrac{7}{2}\right)^2\\ &=\boldsymbol{-\dfrac{41}{2}} \end{align} $\blacktriangleleft$1.と$\eqref{2zihouteisikinokaitokeisuunokannkei}$を使った
  6. \begin{align} &\alpha^5+\beta^5\\ &=(\alpha^3+\beta^3)(\alpha^2+\beta^2)-\alpha^2\beta^2(\alpha+\beta) \end{align} $\blacktriangleleft$対称式は基本対称式の組合せであらわすことができる対称式の定理 \begin{align} &=\left(-\dfrac{9}{2}\right)\cdot 2-\left(\dfrac{7}{2}\right)^2\cdot 3 \\ &=\boldsymbol{-\dfrac{183}{4}} \end{align} $\blacktriangleleft$1.，4.と$\eqref{2zihouteisikinokaitokeisuunokannkei}$を使った

2次方程式の解と係数の関係の逆

$\alpha，\beta$に関する連立方程式

\begin{align} \begin{cases} \alpha+\beta=-a&\qquad\cdots(\mathrm{i})\\ \alpha\beta=b&\qquad\cdots(\mathrm{i}\mathrm{i}) \end{cases} \end{align}

の解は，2次方程式$x^2 + ax + b = 0$の2解であることを証明せよ．

$(\mathrm{i})$より

\begin{align} \beta=-a-\alpha\qquad\cdots(\mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{i}) \end{align}

これを$(\mathrm{i}\mathrm{i})$に代入して

\begin{align} &\alpha(-a-\alpha)=b\\ \Leftrightarrow~&\alpha^2+a\alpha+b=0\qquad\cdots(\mathrm{i}\mathrm{v}) \end{align}

これより，$\alpha$は2次方程式$x^2 + ax + b = 0$の解であることがわかる．

また，このとき$x^2 + ax + b$の$x $に$\beta$を代入すると

\begin{align} &\beta^2+a\beta+b\\ &=(-a-\alpha)^2+a(-a-\alpha)+b\\ &=\alpha^2+a\alpha+b\\ &=0 \end{align} $\blacktriangleleft (\mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{i})$より

$\blacktriangle (\mathrm{i}\mathrm{v})$より

となり，$\beta$も2次方程式$x^2 + ax + b = 0$の解であることがわかる．

2次方程式の解と係数の関係の逆

$\alpha，\beta$に関する連立方程式

\begin{align} \begin{cases} \alpha+\beta=-a\\ \alpha\beta=b \end{cases} \end{align}

の解は，2次方程式$x^2 + ax + b = 0$の2解である．

2次方程式の解と係数の関係の逆の利用

次の連立方程式を解け．


  1. \begin{cases} x+y=3\\ xy=-10 \end{cases}

  2. \begin{cases} x+y=-\dfrac{5}{2}\\ xy=-\dfrac{3}{2} \end{cases}

  3. \begin{cases} x+y=-2\\ x^2+y^2=20 \end{cases}

  4. \begin{cases} xy=1\\ x^2+y^2=1 \end{cases}

  1. 和が$3$，積が $− 10$となる2数は，2次方程式$t^2 − 3t − 10 = 0$の解である．

    \begin{align} &t^2-3t-10=0\\ \Leftrightarrow~&(t-5)(t+2)=0\\ \Leftrightarrow~&t=-2,~5 \end{align}

    より，$\boldsymbol{(x,~y)=(-2,~5),~(5,~-2)}$．

  2. 和が$-\dfrac{5}{2}$，積が$-\dfrac{3}{2}$となる2数は，2次方程式$t^2+\dfrac{5}{2}t-\dfrac{3}{2}=0$の解である．

    \begin{align} &t^2+\dfrac{5}{2}t-\dfrac{3}{2}=0\\ \Leftrightarrow~&\left(t-\dfrac{1}{2}\right)(t+3)=0\\ \Leftrightarrow~&t=\dfrac{1}{2},~-3 \end{align}

    より，$\boldsymbol{(x,~y)=\left(\dfrac{1}{2},~-3\right),~\left(-3,~\dfrac{1}{2}\right)}$．

  3. 連立方程式を変形していくと

    \begin{align} &\begin{cases} x+y=-2\\ x^2+y^2=20 \end{cases}\\ \Leftrightarrow~ &\begin{cases} x+y=-2\\ (x+y)^2-2xy=20 \end{cases}\\ \Leftrightarrow~ &\begin{cases} x+y=-2\\ (-2)^2-2xy=20 \end{cases}\\ \Leftrightarrow~ &\begin{cases} x+y=-2\\ xy=-8 \end{cases} \end{align}

    和が $− 2$，積が $− 8$となる2数は，2次方程式$t^2 + 2t − 8 = 0$の解である．

    \begin{align} &t^2+2t-8=0\\ \Leftrightarrow~&(t+4)(t-2)=0\\ \Leftrightarrow~&t=-4,~2 \end{align}

    より，$\boldsymbol{(x,~y)=(-4,~2),~(2,~-4)}$．

  4. 連立方程式を変形していくと

    \begin{align} &\begin{cases} xy=1\\ x^2+y^2=1 \end{cases}\\ \Leftrightarrow~ &\begin{cases} xy=1\\ (x+y)^2-2xy=1 \end{cases}\\ \Leftrightarrow~ &\begin{cases} xy=1\\ (x+y)^2-2\cdot 1=1 \end{cases}\\ \Leftrightarrow~ &\begin{cases} xy=1\\ x+y=\pm\sqrt{3} \end{cases} \end{align}

    和が$\pm\sqrt{3}$，積が$1$となる2数は，2次方程式$t^2\mp\sqrt{3}t+1=0$の解である．

    \begin{align} &t^2-\sqrt{3}t+1=0\\ \Leftrightarrow~&t=\dfrac{\sqrt{3}\pm i}{2} \end{align}

    また

    \begin{align} &t^2+\sqrt{3}t+1=0\\ \Leftrightarrow~&t=\dfrac{-\sqrt{3}\pm i}{2} \end{align}

    より

    \begin{align} &\boldsymbol{(x,~y)=}\\ &\boldsymbol{\left(\dfrac{\sqrt{3}+i}{2},~\dfrac{\sqrt{3}-i}{2}\right)},\\ &\boldsymbol{\left(\dfrac{\sqrt{3}-i}{2},~\dfrac{\sqrt{3}+i}{2}\right)},~\\ &\boldsymbol{\left(\dfrac{-\sqrt{3}+i}{2},~\dfrac{-\sqrt{3}-i}{2}\right)},\\ &~\boldsymbol{\left(\dfrac{-\sqrt{3}-i}{2},~\dfrac{-\sqrt{3}+i}{2}\right)} \end{align}

3次方程式の解と係数の関係

$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$とし，3次方程式$f(x) = 0$を考える． $f(x) = 0$の3解を$\alpha，\beta，\gamma$とすると，$f(\alpha) = 0，f(\beta) = 0，f(\gamma) = 0$なので，$ f (x)$は$x − \alpha，x − \beta$および$x − \gamma$を因数にもつのがわかるので

\begin{align} &\left(f(x)=\right)x^3+ax^2+bx+c\\ &\qquad=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) \end{align}

とおける．

$(x − \alpha)(x − \beta)(x − \gamma)$を展開すると$x^3 − (\alpha + \beta + \gamma)x + (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)x − \alpha\beta\gamma$であり

\begin{align} &x^3+ax^2+bx+c\\ =&x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x\\ +&(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma \end{align}

これらは多項式として等しいので，両辺の係数を比較して

\begin{align} &\begin{cases} a=-(\alpha+\beta+\gamma)\\ b=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha\\ c=-\alpha\beta\gamma \end{cases}\\ \Longleftrightarrow~& \begin{cases} \alpha+\beta+\gamma=-a\\ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=b\\ \alpha\beta\gamma=-c \end{cases} \end{align}

が成り立つ．

3次方程式の解と係数の関係

3次方程式$x^3 + ax^2 + bx + c = 0$の3解を$\alpha，\beta，\gamma$とすると

\begin{align} \begin{cases} \alpha+\beta+\gamma=-a\\ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=b\\ \alpha\beta\gamma=-c \end{cases} \end{align}

が成り立つ．

吹き出し3次方程式の解と係数の関係

2次方程式の場合と同様に，$x^3$の係数が1でないときでも，その値で方程式全体を割ることにより， $x^3$の係数が1である方程式に変え考えることができる．

\begin{align} &ax^3+bx^2+cx+d=0\\ ~\Leftrightarrow~&x^3+\dfrac{b}{a}x^2+\dfrac{c}{a}x+\dfrac{d}{a}=0 \end{align}

これより，$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$の3解を$\alpha，\beta，\gamma$とすると

\begin{align} \begin{cases} \alpha+\beta+\gamma=-\dfrac{b}{a}\\ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\dfrac{c}{a}\\ \alpha\beta\gamma=-\dfrac{d}{a} \end{cases} \end{align}

とわかる．

2次方程式と3次方程式に限らず，解と係数の関係は一般の$n$次方程式まで成立する．

3次方程式の解と係数の関係

次の3次方程式の3解を$\alpha，\beta，\gamma$とする．$ \alpha + \beta + \gamma，\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha$および$\alpha\beta\gamma$の値を求めよ．

  1. $x^3-5x^2+7x-1=0$
  2. $3x^3+8x^2-6x+5=0$

  1. 3次方程式の解と係数の関係から

    \begin{align} &\alpha+\beta+\gamma=\boldsymbol{5}\\ &\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\boldsymbol{7}\\ &\alpha\beta\gamma=\boldsymbol{1} \end{align}

  2. 式全体を$3$で割り，$x^3+\dfrac{8}{3}x^2-2x+\dfrac{5}{3}=0$．3次方程式の解と係数の関係から

    \begin{align} &\alpha+\beta+\gamma=\boldsymbol{-\dfrac{8}{3}}\\ &\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\boldsymbol{-2}\\ &\alpha\beta\gamma=\boldsymbol{-\dfrac{5}{3}} \end{align}

3次方程式の解と係数の関係の利用

3次方程式$x^3 − 3x + 5 = 0$の3解を$\alpha，\beta，\gamma$とするとき，次の式の値を求めよ．

  1. $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$
  2. $ (\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1) $
  3. $\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\gamma}$
  4. $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3$

3次方程式の解と係数の関係より

\begin{align} &\alpha+\beta+\gamma=0,\\ &\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=-3,\\ &\alpha\beta\gamma=-5 \end{align} $\tag{1}\label{3zihouteisikinokaitokeisuunokankeinoriyou}$

である．

  1. \begin{align} &\alpha^2+\beta^2+\gamma^2\\ &=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\\ &=0^2-2\cdot(-3)\\ &=\boldsymbol{6} \end{align}　　　　　$\blacktriangleleft\eqref{3zihouteisikinokaitokeisuunokankeinoriyou}$を使った
  2. \begin{align} &(\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1)\\ &=\alpha\beta\gamma+\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha+\alpha+\beta+\gamma+1\\ &=-5-3+0+1\\ &=\boldsymbol{-7} \end{align}　　　　　$\blacktriangleleft\eqref{3zihouteisikinokaitokeisuunokankeinoriyou}$を使った

    【別解】

    $x^3 − 3x + 5 = (x − \alpha)(x − \beta)(x − \gamma)$の両辺に$x = − 1$を代入すると

    \begin{align} &7=(-1-\alpha)(-1-\beta)(-1-\gamma)\\ \Leftrightarrow~&(\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1)=\boldsymbol{-7} \end{align}
  3. \begin{align} &\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\gamma}\\ &=\dfrac{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha}{\alpha\beta\gamma}\\ &=\dfrac{-3}{-5}\\ &=\boldsymbol{\dfrac{3}{5}} \end{align}　　　　　$\blacktriangleleft\eqref{3zihouteisikinokaitokeisuunokankeinoriyou}$を使った
  4. \begin{align} &\alpha^3+\beta^3+\gamma^3\\ =&(\alpha+\beta+\gamma)\left\{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2\right. \\ &\Bigl. -(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\Bigr\}+3\alpha\beta\gamma\\ =&0\cdot\left\{6-(-3)\right\}+3\cdot(-5)\\ =&\boldsymbol{-15} \end{align} $\blacktriangleleft$1.と$\eqref{3zihouteisikinokaitokeisuunokankeinoriyou}$を使った