高次不等式

高次不等式とは何か

$n$次不等式

多項式$P (x)$が$n$次式であるとき，$P(x)\geqq0$や$P(x)<0$などで表される不等式を $n$次不等式（inequality of n-th degree）という．

たとえば，$x^3-2x^2+5x+8\geqq0$は3次不等式，$2x^4-8x^3+\dfrac{7}{3}x^2-2<0$は4次不等式である．特に，3次以上の不等式を高次不等式（inequality of higher degree）という．

なお，方程式の場合とは違い，不等式の場合には数の大小関係を扱うので，複素数については考えない，つまり$x $は実数の範囲でのみ考える．

簡単な高次不等式

高次不等式を解くことは一般的には難しいが，高次方程式と同様，因数分解できるときには解くことができる．たとえば，方程式$x^3\geqq1$では

\begin{align} &x^3\geqq1\\ \Leftrightarrow~&x^3-1\geqq0\\ \Leftrightarrow~&(x-1)(x^2+x+1)\geqq0&\qquad \end{align}

←$a^3 – b^3 = (a − b)(a^2 + ab + b^2)$を使った

いま，$x^2+x+1=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0$なので，

\begin{align} (x-1)&\underbrace{(x^2+x+1)}_{}\geqq0となるのは，x-1\geqq0，\\ & \ \ \ \ \ 常に正 \end{align}

つまり$x\geqq1$と解くことができる．

簡単な高次不等式

次の不等式を解け．

$x^3\geqq27$
$x^3<-8$
$x^3-9x<0$
$x^3-x^2\geqq0$

簡単な高次不等式の解答

\begin{align} &x^3\geqq27\\ \Leftrightarrow~&x^3-27\geqq0\\ \Leftrightarrow~&(x-3)(x^2+3x+9)\geqq0 \end{align} $\blacktriangleleft a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$を使った
いま，$x^2+3x+9=\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{27}{4}>0$なので， $(x-3)(x^2+3x+9)\geqq0$となるのは，$x-3\geqq0$，つまり$\boldsymbol{x\geqq3}$である．
\begin{align} &x^3<-8\\ \Leftrightarrow~&x^3+8<0\\ \Leftrightarrow~&(x+2)(x^2-2x+4)<0 \end{align} $\blacktriangleleft a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$を使った
いま，$x^2-2x+4=\left(x-1\right)^2+3>0$なので，$ (x + 2)(x2 − 2x + 4) < 0$となるのは，$x + 2 < 0$，つまり$\boldsymbol{x<-2}$である．
\begin{align} &x^3-9x<0\\ \Leftrightarrow~&x(x^2-9)<0\\ \Leftrightarrow~&(x+3)x(x-3)<0 \end{align}
いま，$(x + 3)x(x − 3)$の符号は$x$ の値に応じて，以下のようにまとめることができる．
$x$ $\cdots$ $-3$ $\cdots$ $0$ $\cdots$ $3$ $\cdots$
$x+3$ $-$ $0$ $+$ $+$ $+$ $+$ $+$
$x$ $-$ $-$ $-$ $0$ $+$ $+$ $+$
$x-3$ $-$ $-$ $-$ $-$ $-$ $0$ $+$
$(x+3)x(x-3)$ $-$ $0$ $+$ $0$ $-$ $3$ $+$
これより，$(x + 3)x(x − 3) < 0$を満たすのは，$\boldsymbol{x\lt -3~,~~0\lt x\lt 3}$である．
【別解：3次関数のグラフを使う方法】　　　$\blacktriangleleft$この解法について詳しくは3次関数のグラフを使った3次不等式の解法で学ぶ
$f(x) = x3 − 9x < 0$とおくと
\begin{align} f(x)&=x(x^2-9)=(x+3)x(x-3) \end{align}
より$y = f (x)$のグラフは図となるので，$f (x) < 0$を満たすのは，$\boldsymbol{x \lt -3~,~~0 \lt x \lt 3}$である．
\begin{align} &x^3-x^2\geqq0\\ \Leftrightarrow~&x^2(x-1)\geqq0 \end{align}
いま，$x^2(x − 1)$の符号は$x$ の値に応じて，以下のようにまとめることができる．
$x$ $\cdots$ $0$ $\cdots$ $1$ $\cdots$
$x^2$ $-$ $0$ $+$ $+$ $+$
$x-1$ $-$ $-$ $-$ $0$ $+$
$x^2(x-3)$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$
これより，$x^2(x-1)\geqq0$を満たすのは，$\boldsymbol{x=0~,~~1\leqq x}$である．
【別解：3次関数のグラフを使う方法】　　　$\blacktriangleleft$この解法について詳しくは3次関数のグラフを使った3次不等式の解法で学ぶ
$f(x) = x^3 – x^2 < 0$とおくと
\begin{align} f(x)&=x^2(x-1) \end{align}
より$y = f (x)$のグラフは図となるので，$f(x)\geqq0$を満たすのは，$\boldsymbol{x=0~,~~1\leqq x}$である．

因数定理を利用した高次不等式の解法

（注）

高次方程式の場合と同様に，因数定理を利用して因数分解できれば，高次不等式を解くことができる．

高次不等式

次の不等式を解け．

$x^3+3x^2-4>0$
$2x^3-7x^2+9\leqq0 $
$x^4-6x^3+7x^2+6x-8<0$
$x^4-8x^3-2x^2+72x-63\geqq0$

高次不等式の解答

$f(x)=x^3+3x^2-4$ とおく。 \[f(1)=1+3-4=0\]
$\blacktriangleleft$ 先に $f(-2)=0$ を見つけてもよい
であるから、因数定理より $f(x)$ は $x-1$ を因数にもつのがわかる。
組立除法をつかうなら
よって、$f(x)\gt0$ は \begin{align} &(x-1)(x^2+4x+4)\gt0\\ \Leftrightarrow~&(x-1)(x+2)^2\gt0 \end{align} いま、$(x-1)(x+2)^2$ の符号は $x$ の値に応じて、以下のようにまとめることができる。
$x$ $\cdots$ $-2$ $\cdots$ $1$ $\cdots$
$x-1$ $-$ $-$ $-$ $0$ $+$
$(x+2)^2$ $+$ $0$ $+$ $+$ $+$
$(x-1)(x+2)^2$ $-$ $0$ $-$ $0$ $+$
これより、$(x-1)x^2\gt0$ を満たすのは、$\boldsymbol{1\lt{x}}$ である。
$\blacktriangleleft$ この解法について詳しくは3次関数のグラフを使った3次不等式の解法で学ぶ
【別解：3次関数のグラフを使う方法】
$f(x)=x^3+3x^2-4$ とおくと \[f(x)=(x-1)(x+2)^2\] より $y=f(x)$ のグラフは図となるので、$f(x)\gt0$ を満たすのは、$\boldsymbol{1\lt{x}}$ である。
$f(x)=2x^3-7x^2+9$ とおく。 \[f(-1)=-2-7+9=0\]
$\blacktriangleleft$ 先に $f(3)=0$ や $f\left(\dfrac{3}{2}\right)=0$ を見つけてもよい
であるから、因数定理より $f(x)$ は $x+1$ を因数にもつのがわかる。
組立除法をつかうなら
よって、$f(x)\leqq0$ は \begin{align} &(x+1)(2x^2-9x+9)\leqq0\\ \Leftrightarrow~&(x+1)(2x-3)(x-3)\leqq0 \end{align} いま、$(x+1)(2x-3)(x-3)$ の符号は$x$ の値に応じて、以下のようにまとめることができる。
$x$ $\cdots$ $-1$ $\cdots$ $\dfrac{3}{2}$ $\cdots$ $3$ $\cdots$
$x+1$ $-$ $0$ $+$ $+$ $+$ $+$ $+$
$2x-3$ $-$ $-$ $-$ $0$ $+$ $+$ $+$
$x-3$ $-$ $-$ $-$ $-$ $-$ $0$ $+$
$f(x)$ $-$ $0$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$
これより、$(x+1)(2x-3)(x-3)\leqq0$ を満たすのは、$\boldsymbol{x\leqq-1,~\dfrac{3}{2}\leqq{x}\leqq3}$ である。
$\blacktriangleleft$ この解法について詳しくは3次関数のグラフを使った3次不等式の解法で学ぶ
【別解：3次関数のグラフを使う方法】
$f(x)=2x^3-7x^2+9$ とおくと \[f(x)=(x+1)(2x-3)(x-3)\] より $y=f(x)$ のグラフは図となるので、$f(x)\leqq0$ を満たすのは、$\boldsymbol{x\leqq-1,~\dfrac{3}{2}\leqq{x}\leqq3}$ である。

$f(x)=x^4-6x^3+7x^2+6x-8$ とおく。 \[f(1)=1-6+7+6-8=0\]

$\blacktriangleleft$ 先に $f(-1)=0$ や $f(2)=0$ などを見つけてもよい

であるから、因数定理より $f(x)$ は $x-1$ を因数にもつのがわかる。

組立除法をつかうなら
3の組立除法の図

よって \begin{align} &f(x)=(x-1)(x^3-5x^2+2x+8) \end{align} さらに、$g(x)=x^3-5x^2+2x+8$ とおくと \[g(-1)=-1-5-2+8=0\]

$\blacktriangleleft$ 先に $g(2)=0$ や $g(4)=0$ などを見つけてもよい

であるから、因数定理より $g(x)$ は $x+1$ を因数にもつのがわかる。

組立除法をつかうなら
3の組立除法の図

よって \begin{align} g(x)&=(x+1)(x^2-6x+8)\\ &=(x+1)(x-2)(x-4) \end{align} である。以上から、$f(x)\lt0$ は \begin{align} &(x-1)(x^3-5x^2+2x+8)<0\\ \Leftrightarrow~&(x+1)(x-1)(x-2)(x-4)<0 \end{align} いま、$(x+1)(x-1)(x-2)(x-4)$ の符号は $x$ の値に応じて、以下のようにまとめることができる。

$x$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$2$	$\cdots$	$4$	$\cdots$

$x+1$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$x-1$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$x-2$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x-4$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$

$f(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

これより、$(x+1)(x-1)(x-2)(x-4)\lt0$ を満たすのは、$\boldsymbol{-1\lt{x}\lt1,~2\lt{x}\lt4}$ である。

【別解：4次関数のグラフを使う方法】

$f(x)=x^4-6x^3+7x^2+6x-8$ とおくと \[f(x)=(x+1)(x-1)(x-2)(x-4)\] より $y=f(x)$ のグラフは図となるので、$f(x)\lt0$ を満たすのは、$\boldsymbol{-1\lt{x}\lt1,~2\lt{x}\lt4}$ である。

$f(x)=x^4-8x^3-2x^2+72x-63$ とおく。 \[f(1)=1-8-2+72-63=0\]

$\blacktriangleleft$ 先に $f(3)=0$ や $f(-3)=0$ などを見つけてもよい

であるから、因数定理より $f(x)$ は $x-1$ を因数にもつのがわかる。

組立除法をつかうなら
4の組立除法の図

よって \[f(x)=(x-1)(x^3-7x^2-9x+63)\] さらに、$g(x)=x^3-7x^2-9x+63$ とおくと \[g(3)=27-63-27+63=0\]

$\blacktriangleleft$ 先に $g(-3)=0$ や $g(7)=0$ などを見つけてもよい。

であるから、因数定理より $g(x)$ は $x-3$ を因数にもつのがわかる。

組立除法をつかうなら
4の組立除法の図

よって、 \begin{align} g(x)&=(x-3)(x^2-4x-21)\\ &=(x-3)(x+3)(x-7) \end{align} である。以上から $f(x)\geqq0$ は \begin{align} &(x-1)(x^3-7x^2-9x+63)\geqq 0\\ \Leftrightarrow~&(x+3)(x-1)(x-3)(x-7)\geqq0 \end{align} いま、$(x+3)(x-1)(x-3)(x-7)$ の符号は $x$ の値に応じて、以下のようにまとめることができる。

$x$	$\cdots$	$-3$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$3$	$\cdots$	$7$	$\cdots$

$x+3$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$x-1$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$x-3$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x-7$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$

$f(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

これより、$(x+3)(x-1)(x-3)(x-7)\geqq0$ を満たすのは、$\boldsymbol{x\leqq-3,~1\leqq{x}\leqq3,~7\leqq{x}}$ である。

【別解：4次関数のグラフを使う方法】

$f(x)=x^4-8x^3-2x^2+72x-63$ とおくと \[f(x)=(x+3)(x-1)(x-3)(x-7)\] より $y=f(x)$ のグラフは図となるので、$f(x)\geqq0$ を満たすのは、$\boldsymbol{x\leqq-3,~1\leqq{x}\leqq3,~7\leqq{x}}$ である。