高次不等式

高次不等式とは何か

$n$ 次不等式

多項式 $P (x)$ が $n$ 次式であるとき， $P(x)\geqq0$ や $P(x)<0$ などで表される不等式を $n$ 次不等式（inequality of n-th degree）という．

たとえば， $x^3-2x^2+5x+8\geqq0$ は3次不等式， $2x^4-8x^3+\dfrac{7}{3}x^2-2<0$ は4次不等式である．特に，3次以上の不等式を高次不等式（inequality of higher degree）という．

なお，方程式の場合とは違い，不等式の場合には数の大小関係を扱うので，複素数については考えない，つまり $x$ は実数の範囲でのみ考える．

簡単な高次不等式

高次不等式を解くことは一般的には難しいが，高次方程式と同様，因数分解できるときには解くことができる．たとえば，方程式 $x^3\geqq1$ では

$\begin{align} &x^3\geqq1\\ \Leftrightarrow~&x^3-1\geqq0\\ \Leftrightarrow~&(x-1)(x^2+x+1)\geqq0&\qquad \end{align}$

← $a^3 – b^3 = (a − b)(a^2 + ab + b^2)$ を使った

いま， $x^2+x+1=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0$ なので，

$\begin{align} (x-1)&\underbrace{(x^2+x+1)}_{}\geqq0となるのは，x-1\geqq0，\\ & \ \ \ \ \ 常に正 \end{align}$

つまり $x\geqq1$ と解くことができる．

簡単な高次不等式

次の不等式を解け．

$x^3\geqq27$
$x^3<-8$
$x^3-9x<0$
$x^3-x^2\geqq0$

簡単な高次不等式の解答

$\begin{align} &x^3\geqq27\\ \Leftrightarrow~&x^3-27\geqq0\\ \Leftrightarrow~&(x-3)(x^2+3x+9)\geqq0 \end{align}$ $\blacktriangleleft a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ を使った
いま， $x^2+3x+9=\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{27}{4}>0$ なので， $(x-3)(x^2+3x+9)\geqq0$ となるのは， $x-3\geqq0$ ，つまり $\boldsymbol{x\geqq3}$ である．
$\begin{align} &x^3<-8\\ \Leftrightarrow~&x^3+8<0\\ \Leftrightarrow~&(x+2)(x^2-2x+4)<0 \end{align}$ $\blacktriangleleft a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ を使った
いま， $x^2-2x+4=\left(x-1\right)^2+3>0$ なので， $(x + 2)(x2 − 2x + 4) < 0$ となるのは， $x + 2 < 0$ ，つまり $\boldsymbol{x<-2}$ である．
$\begin{align} &x^3-9x<0\\ \Leftrightarrow~&x(x^2-9)<0\\ \Leftrightarrow~&(x+3)x(x-3)<0 \end{align}$
いま， $(x + 3)x(x − 3)$ の符号は $x$ の値に応じて，以下のようにまとめることができる．
$x$ $\cdots$ $-3$ $\cdots$ $0$ $\cdots$ $3$ $\cdots$
$x+3$ $-$ $0$ $+$ $+$ $+$ $+$ $+$
$x$ $-$ $-$ $-$ $0$ $+$ $+$ $+$
$x-3$ $-$ $-$ $-$ $-$ $-$ $0$ $+$
$(x+3)x(x-3)$ $-$ $0$ $+$ $0$ $-$ $3$ $+$
これより， $(x + 3)x(x − 3) < 0$ を満たすのは， $\boldsymbol{x\lt -3~,~~0\lt x\lt 3}$ である．
【別解：3次関数のグラフを使う方法】　　　 $\blacktriangleleft$ この解法について詳しくは3次関数のグラフを使った3次不等式の解法で学ぶ
$f(x) = x3 − 9x < 0$ とおくと
$\begin{align} f(x)&=x(x^2-9)=(x+3)x(x-3) \end{align}$
より $y = f (x)$ のグラフは図となるので， $f (x) < 0$ を満たすのは， $\boldsymbol{x \lt -3~,~~0 \lt x \lt 3}$ である．
$\begin{align} &x^3-x^2\geqq0\\ \Leftrightarrow~&x^2(x-1)\geqq0 \end{align}$
いま， $x^2(x − 1)$ の符号は $x$ の値に応じて，以下のようにまとめることができる．
$x$ $\cdots$ $0$ $\cdots$ $1$ $\cdots$
$x^2$ $-$ $0$ $+$ $+$ $+$
$x-1$ $-$ $-$ $-$ $0$ $+$
$x^2(x-3)$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$
これより， $x^2(x-1)\geqq0$ を満たすのは， $\boldsymbol{x=0~,~~1\leqq x}$ である．
【別解：3次関数のグラフを使う方法】　　　 $\blacktriangleleft$ この解法について詳しくは3次関数のグラフを使った3次不等式の解法で学ぶ
$f(x) = x^3 – x^2 < 0$ とおくと
$\begin{align} f(x)&=x^2(x-1) \end{align}$
より $y = f (x)$ のグラフは図となるので， $f(x)\geqq0$ を満たすのは， $\boldsymbol{x=0~,~~1\leqq x}$ である．

因数定理を利用した高次不等式の解法

（注）

高次方程式の場合と同様に，因数定理を利用して因数分解できれば，高次不等式を解くことができる．