分数式とは何か

$f(x)$を多項式，$g(x)$を定数でない多項式とするとき， $\dfrac{f(x)}{g(x)}$の形で表した式のことを分数式（fractional expression）という．

たとえば

\begin{align} \dfrac{2x-1}{x-1}~,~~\dfrac{3a}{x-4b}~,~~\dfrac{x-5}{x^2-2x+3} \end{align}

などは，どれも分数式である．

多項式と分数式を合わせて，有理式（rational expression）という．

分数式では，普通の分数と同じように，分母，分子に$0$以外の同じ式をかけてもよいし， 分母，分子に共通な因数で割ってもよい．

分数式の基本演算

分数式$\dfrac{f(x)}{g(x)}$に関して，次の式が成り立つ．

\begin{align} &\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{f(x)\times h(x)}{f(x)\times h(x)}~,\\ &\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{f(x)\div h(x)}{g(x)\div h(x)} \end{align}

ただし，$h(x)\neq0$とする．

これらの変形を行えば，普通の分数と同じように約分（reduction of fraction to its lower terms）や通分（reduction fractions to common denominator）ができる．

分数式の約分

次の分数式を約分せよ．

  1. $\dfrac{2x-2}{6}$
  2. $\dfrac{x^2-1}{x+1}$
  3. $\dfrac{x^2-x-12}{x^2+2x-3}$
  4. $\dfrac{x^2+x-2}{x^3-1}$

  1. 実際に約分をすると

    \begin{align} \dfrac{2x-2}{6}=\boldsymbol{\dfrac{x-1}{3}} \end{align}

  2. 分子を因数分解すると

    \begin{align} \dfrac{x^2-1}{x+1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x+1}=\boldsymbol{x-1} \end{align}

  3. 分母・分子を因数分解すると

    \begin{align} \dfrac{x^2-x-12}{x^2+2x-3}=&\dfrac{(x+3)(x-4)}{(x-1)(x+3)}\\ =&\boldsymbol{\dfrac{x-4}{x-1}} \end{align}

  4. 分母・分子を因数分解すると

    \begin{align} \dfrac{x^2+x-2}{x^3-1}&=\dfrac{(x-1)(x+2)}{(x-1)(x^2+x+1)}\\ &=\boldsymbol{\dfrac{x+2}{x^2+x+1}} \end{align}

分数式の分母と分子に共通な因数がないとき，この分数式は既約（irreducible）であるという．