領域を利用した証明

FTEXT 数学Aの論理と集合で学んだように，一般に2つの条件 $p,q$ について，条件 $p$ の真理集合(条件 $p$ を満たすもの全体の集合)を $P$ ，条件 $q$ の真理集合を $Q$ とすると

「 $p~\Rightarrow~q$ が真である」 $\Longrightarrow~P\subseteqq Q$

であった．

条件 $p,q$ が $x,y$ の不等式で表される場合に，このことをもちいて， $p~\Rightarrow~q$ が真であることを証明してみよう．

領域を利用した証明

$(x-1)^2+y^2 \leqq 5$ ならば $x^2 +(y+2)^2 \leqq 20$ であることを証明せよ．

領域を利用した証明の解答

無題

連立方程式

$\begin{cases} (x_1)^2+y^2=5\\ x^2+(y+2)^2=20 \end{cases}$

を解く．上の式を $\tag{1}\label{ryouikiworiyoushitashoumeinokaitou1}$ ，下の式を $\tag{2}\label{ryouikiworiyoushitashoumeinokaitou2}$ とすると $x = 6 − 2y$ なので，これを $\eqref{ryouikiworiyoushitashoumeinokaitou1}$ に代入すると

$\begin{align} &(6-2y-1)^2+y^2=5\\ \Leftrightarrow~ &25-20y+4y^2+y^2=5\\ \Leftrightarrow~ &(y-2)^2=0\\ \Leftrightarrow~ &y=2 \end{align}$

$y = 2$ を $x = 6 − 2y$ に代入すると $x = 2$ であり，解が1つに定まるので，2円は $(2,2)$ でお互いに接している．これをもとにそれぞれの領域を描くと，図のようになる．

$(x-1)^2+y^2\leqq 5$ を満たす領域は全て $x^2+(y+2)^2\leqq20$ を満たす領域に含まれるので，題意は証明された．