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領域を利用した証明

FTEXT 数学Aの論理と集合で学んだように,一般に2つの条件p,qについて, 条件pの真理集合(条件pを満たすもの全体の集合)をP,条件qの真理集合をQとすると

p  qが真である」 P

であった.

条件p,qx,yの不等式で表される場合に,このことをもちいて, p~\Rightarrow~qが真であることを証明してみよう.

領域を利用した証明

(x-1)^2+y^2 \leqq 5ならばx^2 +(y+2)^2 \leqq 20であることを証明せよ.

無題

無題

連立方程式

\begin{cases} (x_1)^2+y^2=5\\ x^2+(y+2)^2=20 \end{cases}

を解く. 上の式を\tag{1}\label{ryouikiworiyoushitashoumeinokaitou1},下の式を\tag{2}\label{ryouikiworiyoushitashoumeinokaitou2}とするとx = 6 − 2yなので,これを\eqref{ryouikiworiyoushitashoumeinokaitou1}に代入すると

\begin{align} &(6-2y-1)^2+y^2=5\\ \Leftrightarrow~ &25-20y+4y^2+y^2=5\\ \Leftrightarrow~ &(y-2)^2=0\\ \Leftrightarrow~ &y=2 \end{align}

y = 2x = 6 − 2yに代入するとx = 2であり,解が1つに定まるので,2円は(2,2)でお互いに接している. これをもとにそれぞれの領域を描くと,図のようになる.

(x-1)^2+y^2\leqq 5を満たす領域は全てx^2+(y+2)^2\leqq20を満たす領域に含まれるので, 題意は証明された.