条件を逆にたどる方法

ここでは，2変数関数 $f(x,~y)$ の最大値や最小値を求める2通りの方法についてみていこう．

条件に動点を含む場合の軌跡で学んだ，条件を逆にたどる方法は，軌跡を求めるだけでなく， 2変数関数の最大値や最小値を求めるときにも有効である．そのことを次の例題で確認しよう．

2変数関数の最大最小〜その1〜

$x,y$ が次の4つの不等式を満たすとき，次の問いに答えよ．

$\begin{align} &x\geqq0~,~~y\geqq0~,~~\\ &x+2y\leqq8~,~~3x+2y\leqq12 \end{align}$

4つの不等式の表す領域 $D$ を図示せよ．
$f(x,~y)=x+y$ の最大値と最小値およびそのときの $x$ と $y$ の値を求めよ．

2変数関数の最大最小〜その1〜の解答

領域を図示すると次のようになる．
$x + y = k$ $\tag{1}\label{2hensuukansuunosaidaisaishousono1}$ とおくと，これは傾きが $– 1$ ， $y$ 切片が $k$ の直線を表す．この直線 $\eqref{2hensuukansuunosaidaisaishousono1}$ が領域 $D$ と共有点をもつような $k$ の値の最大値と最小値を求めればよい．
←なぜこのような操作を行うかについては下の本文参照
次の図より， $k$ の値は $\eqref{2hensuukansuunosaidaisaishousono1}$ が点 $(2,~3)$ を通るとき最大となり，原点 $O$ を通るとき最小となる．
よって， $f(x,~y)$ は
$\boldsymbol{x=2},\boldsymbol{y=3}$ のとき，最大値 $\boldsymbol{5}$
$\boldsymbol{x=0},\boldsymbol{y=0}$ のとき，最小値 $\boldsymbol{0}$

上の例題での2変数関数 $f(x,~y)$ の値の決まり方は，問題文をそのままに読めば，まず不等式の領域 $D$ が決まり，その領域内の $(x,~y)$ を代入して $f(x,~y)$ が決まるという順序になっている．しかし，このような理解では，領域 $D$ 内の無数の点に対して $f(x,~y)$ を求めなければならなくなる．

そこで，条件に動点を含む場合の軌跡で学んだ方法と同じように，考え方の順序を逆にして，ある値 $k$ を考えてみて， $f(x,~y)$ がその値をとるかどうか調べるという方法をとる．

たとえば， $f(x,~y)$ が2をとるかどうかを調べてみよう． $f(x,~y)=3$ が成り立つためには

$\begin{align} x+y=2 \end{align}$

を満たさなくてはならない．この関係を満たす $x,y$ は，直線 $y = − x + 2$ 上にあるので，この直線が領域 $D$ と共有点をもてば，その点の座標 $(x,~y)$ を $f(x,~y)$ に代入することによって $f(x,~y)$ は $2$ をとる．

次の図は領域 $D$ と直線 $y = − x + 2$ を重ねたものである．この図の太線部分の $(x,~y)$ を代入することにより $f(x,~y)=2$ となる．

このような作業を具体的な値ではなく，ある値 $k$ で行うことにより，直線 $x + y = k$ が領域 $D$ と共有点をもつ範囲を調べることで，最大値や最小値を求めることができる．