$y=2^x$のグラフ

指数が自然数の場合

無題

指数が自然数の場合

ここでは，$a$を定数とし，$f(x) = a^x$で表される関数について考えていく．以下では，例として$a = 2$の場合，つまり$y = 2^x$のグラフについてみていく．

指数の拡張でみてきたように，指数$x$が自然数の場合，整数の場合，有理数の場合と段階を追って確認していくことにする．

まず，$x$が自然数の場合には，関数$y = 2^x$の値は表のようにまとめることができる．

$ \ x \ $	$ \ \boldsymbol{1} \ $	$ \ \boldsymbol{2} \ $	$ \ \boldsymbol{3} \ $	$ \ \boldsymbol{4} \ $	$ \ \cdots \ $
$y$	$\boldsymbol{2}$	$\boldsymbol{4}$	$\boldsymbol{8}$	$\boldsymbol{16}$	$\cdots$

これらの値の組$(x,~y)$を座標とする点を，座標平面上にとっていくと，図のようになる．ただし，$x\geqq4$のときは$y$の値が大きいので，グラフには入りきっていない．

指数が整数の場合

無題

指数が整数の場合

$x$が整数の場合には，関数$y = 2^x$の値は表のようにまとめることができる．

$x$	$\cdots$	$\boldsymbol{-4}$	$\boldsymbol{-3}$	$\boldsymbol{-2}$	$\boldsymbol{-1}$	$\boldsymbol{0}$	$1$	$2$	$3$	$4$	$\cdots$
$y$	$\cdots$	$\boldsymbol{\dfrac{1}{16}}$	$\boldsymbol{\dfrac{1}{8}}$	$\boldsymbol{\dfrac{1}{4}}$	$\boldsymbol{\dfrac{1}{2}}$	$\boldsymbol{1}$	$2$	$4$	$8$	$16$	$\cdots$

これらの値の組$(x,~y)$を座標とする点を，座標平面上にとっていくと，図のようになる．なお，$x$が $− 1$や $− 2$などのときには

\begin{align} 2^{-1}=\dfrac{1}{2}~,~~2^{-2}=\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{4} \end{align}

として計算している．

指数が有理数の場合

無題

（注）

指数が有理数の場合

$x$が有理数の場合には，$x$が整数の場合に加えて，さらに $x$が$\dfrac{1}{2}$や$\dfrac{1}{4}$や$\dfrac{3}{2}$などの場合も含まれる．

$x$がこれらの値となるときの$y$の値は

\begin{align} &2^\frac{1}{2}=\sqrt{2}\fallingdotseq1.414\\ &2^\frac{1}{4}=(2^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}=\sqrt{1.414}\fallingdotseq1.189\\ &2^\frac{3}{2}=2^{1+\frac{1}{2}}=2\times2^\frac{1}{2}\fallingdotseq2\times1.414=2.828 \end{align}

などと計算できるので，表のようにまとめることができる．

$ \ x \ $	$ \ \cdots \ $	$ \ -4 \ $	$ \ -3 \ $	$ \ -2 \ $	$ \ -1 \ $	$ \ 0 \ $
$y$	$ \cdots $	$\dfrac{1}{16}$	$\dfrac{1}{8}$	$\dfrac{1}{4}$	$\dfrac{1}{2}$	$ \ 1 \ $

$ \ x \ $	$ \ \boldsymbol{\dfrac{1}{4}} \ $	$ \ \boldsymbol{\dfrac{1}{2}} \ $	$ \ 1 \ $	$ \ \boldsymbol{\dfrac{3}{2}} $	$ \ 2 \ $	$ \ 3 \ $	$ \ 4 \ $	$ \ \cdots \ $
$y$	$ \boldsymbol{1.189} $	$\boldsymbol{1.414}$	$2$	$\boldsymbol{2.828}$	$4$	$ 8 $	$ 16$	$ \cdots $

これらの値の組$(x,~y)$を座標とする点を，座標平面上にとっていくと，図のようになる．