導関数とは何か

$x＝a$ での微分係数を求める

$f(x)=x^2$ とし、次の問いに答えよ。

  1. $f'(a)$ を求めよ。
  2. 1の結果に $a=3$、$-2$ を代入することにより、$f'(3)$、$f'(-2)$ を求めよ。

  1. 微分係数 $f'(a)$ の定義より \begin{align} &\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\\ &=\dfrac{(a+h)^2-a^2}{h}\\ &=\dfrac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}\\ &=2a+h\\ &\to2a~(h\to0) \end{align} よって、$\boldsymbol{f'(a)=2a}$。
  2. 1の $a$ に $a=3$ を代入することにより \[\boldsymbol{f'(3)=6}\] また、$a=-2$ を代入することにより \[\boldsymbol{f'(-2)=-4}\] となる。

上の例題2の結果は、定義式から微分係数を求める～その1～ の1と2の答えと確かに一致する。

このように、同じ関数の微分係数は、いちいち定義式に戻り計算しなくても
「$x=a$ における微分係数 $f'(a)$ を求めておいて、$a$ に必要な値を代入する」
ことによって求められる。いいかたを変えれば、$a$ を変数とみれば $f'(a)$ は $a$ の関数になっているということである。変数であることをわかりやすくするため、$a$ を $x$ におきかえた $f'(x)$ を以下では使うことにする。

導関数

関数 $f(x)$ において、極限 $\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ が存在するとき、これを $f(x)$ の導関数 (derived function) といい、$f'(x)$ で表す。すなわち \[f'(x)=\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\] である。