$y={\sin}x$のグラフとその周辺のグラフ
三角関数の表しかた
三角関数の表しかた
$\sin\theta$などの三角関数を定義したとき，$\theta$は角度を意味していた．
しかし，三角関数を，ある数$\theta$に対応する数を与える式，とより抽象的にみるならば， $\theta$の意味を角度に限定する必要はない． このため，変数を$\theta$で表さず，$y = \sin x$のように$x$で表すことも多く， 以下でもそのように扱っていく．
$y={\sin}x$ のグラフ
関数$y = \sin x$について，$0 \leqq x \leqq 2\pi$の範囲で $x$と$y$の関係を表にすると，以下のようになる． $x$の値は$\dfrac{1}{6}\pi$刻みでとってある．
| $x$ | $\cdots$ | $ \ 0 \ $ | $\dfrac{1}{6}\pi$ | $\dfrac{1}{3}\pi$ | $\dfrac{1}{2}\pi$ | $\dfrac{2}{3}\pi$ | $\dfrac{5}{6}\pi$ | $ \ \pi \ $ |
| $y$ | $\cdots$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ |
| $x$ | $\dfrac{7}{6}\pi$ | $\dfrac{4}{3}\pi$ | $\dfrac{3}{2}\pi$ | $\dfrac{5}{3}\pi$ | $\dfrac{11}{6}\pi$ | $2\pi$ | $\cdots$ |
| $y$ | $-\dfrac{1}{2}$ | $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $-1$ | $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $-\dfrac{1}{2}$ | $0$ | $\cdots$ |
この関係をグラフで表すと次の図のようになる．
$y=\sin{x}$ のグラフの図その1
たとえば，前の図の点$\text{A}$の$y$座標は動径のなす角が$\dfrac{2}{3}\pi$であるときの動点$\text{A}'$の$y$座標である．
前の図の各点をなめらかにつなぐと次の図のようになる．
$y=\sin{x}$ のグラフの図その2
さらに，$x$の値が$2\pi$増えるごとに$\sin x$は同じ値を取ることに注意して， 任意の実数を定義域としたグラフを書くと，次の図のようになる．
$y=\sin{x}$ のグラフの図その3
この$y = \sin x$のグラフに表れる曲線のことを，正弦曲線(sine curve) という．
正弦曲線の値域の長さの半分を振幅(amplitude) という． $y = \sin x$の振幅は$1$である．
周期関数の定義
周期関数の定義
$y=\sin{x}$のように，$x$の変化に応じて同じ値をとる関数は，次のようにまとめることができる．
周期関数の定義
関数$f(x)$が，ある正の実数$p$に対して次の条件
どんな実数$x$に対しても$f(x)=f(x+p)$が成立
を満たすとき，この関数$f(x)$のことを周期関数(periodic function) という．また，上の条件を満たす実数$p$のうち，正の値で最小のものを， この周期関数$f(x)$の周期(period) という．
$f(x)=\sin{x}$とおくと， 任意の実数$x$について$f(x)=f(x+2\pi)$が成り立つので， 関数$y=f(x)=\sin x$は周期関数であり，周期は$2\pi$である． グラフ$y=f(x)$においては「$x$が$2\pi$増加するたびに同じ形が表れる」ことになる．
$y＝\sin x$のグラフの特徴
$y=\sin{x}$ のグラフの特徴の図その1
振幅$1$,周期$2\pi$の正弦曲線であり，$y$切片は$0$．
$x$の値の増加に対し，$y$の値は増加と減少を交互に繰り返す．
$y=A{\sin}x$ のグラフとその性質
$y=A\sin x$のグラフとその性質
たとえば，$y=\sin x$のグラフを$y$軸方向に$3$倍すると$y=3\sin x$のグラフになり， $y=\sin x$のグラフを$y$軸方向に$-3$倍すると$y=-3\sin x$のグラフになる．
$y=A\sin{x}$ のグラフとその性質の図その1
$y＝A\sin x$のグラフの特徴
$y=\sin x$のグラフを，$y$軸方向に$A$倍したグラフである，
振幅は $| A |$ ,周期は関数$y=\sin x$と同じ$2\pi$である．
$y=\sin(x-\alpha)$ のグラフ
$y=\sin(x-\alpha)$のグラフ
例として，2つの関数
\begin{align} y&=\sin x\\ y&=\sin \left(x-\dfrac{1}{3}\pi\right) \end{align}の関係を考えてみよう．
| $x$ | $\cdots$ | $ \ 0 \ $ | $\dfrac{1}{6}\pi$ | $\dfrac{1}{3}\pi$ | $\dfrac{1}{2}\pi$ |
| $\sin x$ | $\cdots$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| $\sin \left(x-\dfrac{1}{3}\pi\right)$ | $\cdots$ | $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $-\dfrac{1}{2}$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ |
| $x$ | $\dfrac{2}{3}\pi$ | $\dfrac{5}{6}\pi$ | $ \ \pi \ $ | $\cdots$ |
| $\sin x$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ | $\cdots$ |
| $\sin \left(x-\dfrac{1}{3}\pi\right)$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\cdots$ |
$y=\sin \left(x-\dfrac{1}{3}\pi\right)$の$y$の値と$y=\sin x$の$y$の値を一致させるには， $y=\sin \left(x-\dfrac{1}{3}\pi\right)$の$x$に，$y=\sin x$の$x$より$\dfrac{1}{3}\pi$大きい値を代入しなければならない．
$y=\sin(x-\alpha)$ のグラフの図その1
つまり，$y=\sin \left(x-\dfrac{1}{3}\pi\right)$の正弦曲線は，$y=\sin x$のグラフを$x$軸方向に$\dfrac{1}{3}\pi$だけ平行移動した正弦曲線であると分かる．
このことは，上の表においても確認することができる．
$y＝\sin(x-\alpha)$のグラフ
$y=\sin(x-\alpha)$のグラフは，$y=\sin x$のグラフを
「$x$軸方向に$\alpha$平行移動」
したグラフ，周期と振幅も$y=\sin x$と同じであり，それぞれ$2\pi$と$1$である．
$y={\sin}bx$ のグラフ
$y=\sin bx$のグラフ
例として，関数$y=f(x)=\sin 3x$ のグラフについて考えてみよう．この関数は
$f(0)=\sin 0 =0,~f\left(\dfrac{2}{3}\pi\right)=\sin 2\pi =0,$
$~f\left(\dfrac{4}{3}\pi\right)=\sin 4\pi =0,~f(2\pi)=\sin 6\pi =0$
となり，結局，$x$が$0$から$2\pi$まで増加する間に，$y$は3度同じ値を繰り返すことが分かる．
$y=\sin{bx}$ のグラフの図その1
こうして，$y=\sin x$のグラフを，$y$軸に対して$x$軸方向に$\dfrac{1}{3}$倍したグラフが， 関数$y = \sin3x$のグラフであると分かる．
$y＝\sin bx$のグラフ
$y=\sin bx$のグラフは，$y=\sin x$のグラフを$x$軸方向に$b$倍したものであり
周期は$\dfrac{2\pi}{|b|}$,振幅は$1$である．
三角関数のグラフ〜その1〜
以下の関数のグラフを書け．また，周期と振幅を求めよ．
- $y=\sin\left(x+\dfrac{1}{3}\pi\right)$
- $y=2\sin\left(x-\dfrac{1}{2}\pi\right) $
- $y=\sin 2x$
- $y=\sin \dfrac{x}{3}$
$y=\sin\left\{x- \left(-\dfrac{1}{3}\pi\right)\right\}$なので，$y=\sin x$のグラフを$x$軸方向に$-\dfrac{1}{3}\pi$平行移動したグラフになる．
周期は$2\pi$，振幅は$1$である．
←$y = \sin x$と同じ
$y=2\sin x$のグラフを$x$軸方向に$\dfrac{1}{2}\pi$平行移動したグラフになる．
周期は$2\pi$，振幅は$2$である．
←$y = 2\sin x$と同じ
$y=\sin 2x$は，$y=\sin x$の周期を$\dfrac{1}{2}$にしたグラフになる．
周期は$2\pi\div 2 =\boldsymbol{\pi}$，振幅は$1$である．
$y=\sin \dfrac{1}{3}x$は，$y=\sin x$の周期を$3$倍したグラフになる．
←$\dfrac{1}{\frac{1}{3}}=3$倍
周期は$2\pi\times 3 =\boldsymbol{6\pi}$，振幅は$1$である．
$y=A\sin(bx-\alpha)$ のグラフ
$y=A\sin(bx-\alpha)$のグラフ
たとえば，関数$y=2\sin \left(3x-\dfrac{\pi}{4}\right)$について考えてみよう．
この関数の式は，$y=2\sin 3\left(x-\dfrac{\pi}{12}\right)$と書けるので，次のことが分かる．
振幅は$2$である．
周期は$y=2\sin 3x$と同じ$\dfrac{2}{3}\pi$である．
$y=2\sin 3x$を$x$軸方向に$\dfrac{1}{12}\pi$平行移動したグラフになる．つまり，$x=\dfrac{\pi}{12}$のとき$y=\sin 0$であり， $x=\dfrac{3}{4}\pi\left(=\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{2}{3}\pi\right)$のとき，$y=\sin 2\pi$である．
以上より，グラフは次のようになる．
$y=A\sin(bx-\alpha)$ のグラフの図その1
$y＝A\sin(bx-\alpha)$のグラフ
$y=A\sin(bx-\alpha)=A\sin b\left(x-\dfrac{\alpha}{b}\right)$のグラフは，$y=A\sin bx$のグラフを 「$x$軸方向に$\dfrac{\alpha}{b}$平行移動」 したグラフである．
周期も振幅も$y=A\sin bx$と同じであり，それぞれ$\dfrac{2\pi}{|b|},A$である．
三角関数のグラフを書く手順
三角関数のグラフを書く手順
三角関数のグラフを書く時は，おおよそ次のiii., ii., i.の順で考えるとよい．つまり
- iii.$y$座標が$\sin 0$になるときの$x$の値を求める．正弦曲線はそこから始まる．
- ii.周期を求め，$y$座標が$\sin 2\pi$になるときの$x$の値を求める．これにより，iii.で求めた値から始まる正弦曲線の1周期分の終端が決まる．
- i.振幅を決める．最後に，$y$切片を計算できる場合は計算する．
三角関数のグラフ〜その2〜
以下の関数のグラフを書け．
- $y=\sin\left(2x-\dfrac{1}{3}\pi\right)$
- $y=2\sin\left(2x+\dfrac{1}{2}\pi\right) $
- $y=\sin\left(\dfrac{x}{3}+\dfrac{\pi}{3}\right) $
$y=\sin2\left(x- \dfrac{1}{6}\pi\right)$なので
$y=2\sin2\left\{x- \left(-\dfrac{1}{4}\pi\right)\right\}$なので
$y=\sin\dfrac{1}{3}\left\{x- \left(-\pi\right)\right\}$なので
