和と差に関する対数の性質について

和と差に関する対数の性質について

常用対数表には，$10$を底とする対数の概算値がまとめてある． この表によれば

\begin{align} &\log_{10}2\fallingdotseq0.3010~,\\ &\log_{10}4\fallingdotseq0.6021~,\\ &\log_{10}8\fallingdotseq0.9031 \end{align}

なので

\begin{align} (\log_{10}8=)~\log_{10}(2\cdot4)=\log_{10}2+\log_{10}4 \end{align}

が成り立っているのがわかる． このような関係が成り立つのは偶然ではなく，一般的には次のようにまとめられる．

和と差に関する対数の性質

$a $は$a > 0，a\neq1$を満たし，$M > 0，N > 0$とするとき

  • 1.$\log_a{MN}=\log_a{M}+\log_a{N} $
  • 1'.$\log_a\dfrac{M}{N}=\log_a{M}-\log_a{N}$

が成り立つ．

たとえば，$\log_218 = \log_23 + \log_26$，$\log_3\dfrac{2}{5} = \log_32 − \log_35$などもいえる．

吹き出し和と差に関する対数の性質について

似ているが，下の式は成立しないので気をつけよう．

\begin{align} &(\times)\log_aM\log_aN=\log_aM+\log_aN~~,\\ &(\times)\dfrac{\log_aM}{\log_aN}=\log_aM-\log_aN \end{align}

暗記和と差に関する対数の性質の証明

実数に拡張された指数法則

  • 1.$a^xa^y=a^{x+y}$
  • 1'.$\dfrac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$

に，$a$を底とする対数を考えることにより，和と差に関する対数の性質

  • 1.$\log_a{MN}=\log_a{M}+\log_a{N}$
  • 1’.$\log_a\dfrac{M}{N}=\log_a{M}-\log_a{N}$

を証明せよ．

  • 1.指数法則$a^xa^y=a^{x+y}$,において，$a$を底とする対数をとると $\blacktriangleleft$指数法則を対数の世界から眺めるため対数をとった

    \begin{align} &\log_a{a^xa^y}=\log_aa^{x+y}\\ \Leftrightarrow~&\log_a{a^xa^y}=x+y \end{align} $\blacktriangleleft$対数の定義

    ここで，$a^x = M，a^y = N$とおくと，$x = \log_aM，y = \log_aN$なので $\blacktriangleleft$対数の定義

    \begin{align} &\log_aMN=\log_aM+\log_aN \end{align}

  • 1' 指数法則$\dfrac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$において，$a$を底とする対数をとると $\blacktriangleleft$指数法則を対数の世界から眺めるため対数をとった

    \begin{align} &\log_a\dfrac{a^x}{a^y}=\log_aa^{x-y}\\ \Leftrightarrow~&\log_a\dfrac{a^x}{a^y}=x-y \end{align} $\blacktriangleleft$対数の定義

    ここで，$a^x = M，a^y = N$とおくと，$x = \log_aM，y = \log_aN$なので $\blacktriangleleft$対数の定義

    \begin{align} &\log_a\dfrac{M}{N}=\log_aM-\log_aN \end{align}

和と差に関する対数の性質の練習

$a = \log_{10}2，b = \log_{10}3$とするとき，次の対数を$a，b$で表せ．

  1. $\log_{10}12$
  2. $\log_{10}5$
  3. $\log_{10}\dfrac{1}{30}$
  4. $\log_{10}225$

  1. \begin{align}\log_{10}12&=\log_{10}(2\cdot2\cdot3)\\ &=\log_{10}2+\log_{10}2+\log_{10}3 \\ &=\boldsymbol{2a+b} \end{align} $\blacktriangleleft$和と差に関する対数の性質

  2. \[\log_{10}5=\log_{10}\dfrac{10}{2}\] \[=\log_{10}10-\log_{10}2\]$\blacktriangleleft$和と差に関する対数の性質

    \[=\boldsymbol{1-a}\] $\blacktriangleleft$ $\log_1010 = 1$ である

  3. \[\log_{10}\dfrac{1}{30}=\log_{10}\dfrac{1}{2\cdot3\cdot5}\] \[=\log_{10}1-\log_{10}(2\cdot3\cdot5)\] $\blacktriangleleft$和と差に関する対数の性質

    \[=0-\left(\log_{10}2+\log_{10}3+\log_{10}5\right)\] $\blacktriangleleft$和と差に関する対数の性質

    \[ =-\left\{a+b+(1-a)\right\}\] $\blacktriangleleft$ 2.より

    \[ =\boldsymbol{-1-b}\]

  4. \[\log_{10}225=\log_{10}(5\cdot5\cdot3\cdot3)\] \[=\log_{10}5+\log_{10}5+\log_{10}3+\log_{10}3\], $\blacktriangleleft$和と差に関する対数の性質

    \[=(1-a)+(1-a)+b+b\], $\blacktriangleleft$ 2.より

    \[=\boldsymbol{2-2a+2b}\]