$3^{-2}$の意味

$3^{ − 2}$の意味

指数法則1.は，指数が自然数の場合，すなわち，正の整数の場合について成り立つ性質であるが， ここでは，指数を$0$や負の整数を含む一般の整数にまで拡張することを考えてみよう．

仮に$3^{ − 2}$という数があったとして，その意味について考えてみよう． $3^2$が「$3$を$2$かけた数」であったから，$3^{ − 2}$は「$3$を $− 2$回かけた数」とでもなるのであろうが， 「 $− 2$回かける」では意味不明である．

そこで，「指数の仲間なのだから指数法則を満たすだろう」と考え，その体系の中で 矛盾が生じないよう「 $− 2$回かける」を決められないか（意味づけられないか） 少し考えてみよう．

たとえば，$3^6\times3^{-2}$という計算があったとして，これが指数法則1.を満たすとすると

\begin{align} 3^6\times3^{-2}=3^{6-2}=3^4 \end{align}

となる．ここで，$3^{ − 2}$を$X$で表すと

\begin{align} 3^6\times{X}=3^4 \end{align}

となる．この式を満たす$X$を求めると，$X=\dfrac{3^4}{3^6}=\dfrac{1}{3^2}$である． つまり，$3^{ − 2}$は$\dfrac{1}{3^2}$であると考えると都合がよい．