一般角

動径

無題

無題

平面上で，点$\text{O}$を中心として半直線$\text{OP}$を回転させるとき， この半直線$\text{OP}$を動径(radius vector) といい， はじめの固定された半直線$\text{OX}$を始線(initial line) という．

角度の拡張

角度の拡張

固定された図形にあらわれる角度の大きさは，$0^\circ$から$360^\circ$である． この視点で見れば，時計の1時の長針と2時30分の長針のなす角度は$180^\circ $であり，1時の長針と3時30分の長針のなす角度も$180^\circ$である． しかし，時刻の変化に伴う長針の回転量は，前者と後者では明らかに異なる． また，長針を1時から10分進めても，10分戻してもどちらも$60^\circ$回転するが，向きは逆である．

これらの点を考慮できるように$360^\circ$以上の角や，回転の向きを考えた角を導入することにしよう．

1) $360^\circ$以上の角度

角度の拡張の図その１

動点$\text{P}$は(反時計回りに)1周より多く動いてもよいとする． たとえば，図では，$\text{P}$が反時計回りに１周と$60^\circ$回転しているので， $\angle{\text{POX}}=360^\circ+60^\circ=420^\circ$と考える．

2) 負の角度

動点$\text{P}$は，$\text{X}$から時計回りに動いてもよいとし，この場合は$\angle{\text{POX}}$を負の値で定める． たとえば，図では，$\text{P}$が時計回りに$120^\circ$回転しているので， $\angle{\text{POX}}=-120^\circ$と考える．

これらのように，$360^\circ$以上回転する場合や，回転の向きも考えた角を 一般角(general angle) という．

また，一般角$\theta$に対して，始線$\text{OX}$から角$\theta$だけ回転した位置にある動径$\text{OP}$を， $\theta$の動径という．

角度の拡張の図その２

一般角の練習〜その1〜

次の図の$\theta$を一般角で表せ．

  1. 一般角の練習〜その1〜の図その１

  2. 一般角の練習〜その1〜の図その２

  3. 一般角の練習〜その1〜の図その３

  1. 動径$\text{OP}$は，反時計回りに1周と$120^\circ$進んだので

    \begin{align} \theta=360^\circ+120^\circ=\boldsymbol{480^\circ} \end{align}

  2. 動径$\text{OP}$は，反時計回りに2周と$210^\circ$進んだので

    ←$360^\circ-150^\circ=210^\circ$

    \begin{align} \theta=360^\circ\times2+210^\circ=\boldsymbol{930^\circ} \end{align}

  3. 動径$\text{OP}$は，時計回りに$300^\circ$進んだので

    ←$360^\circ-60^\circ=300^\circ$

    \begin{align} \theta=\boldsymbol{-300^\circ} \end{align}

一般角の練習〜その2〜

次の角の動径を図示せよ．

  1. $150^\circ$
  2. $390^\circ$
  3. $-90^\circ$
  4. $-690^\circ$

動径の表す角

無題

無題

動径の表す角

動径は$360^\circ$回転するともとの位置に戻るので， たとえば，$60^\circ$の動径は，図のように

\begin{align} &420^\circ~(~=60^\circ+360^\circ)\\ &780^\circ~(~=60^\circ+360^\circ\times2)\\ &-300^\circ~(~=60^\circ-360^\circ) \end{align}

などの角の動径と同じ位置にくる． すなわち，$60^\circ+360^\circ\times n$($n$は整数)の動径はすべて同じ位置にくる． これらの角を動径$\text{OP}$の表す角という．

一般に，次のことがいえる．

動径の表す角

動径$\text{OP}$と始線$\text{OX}$のなす角の1つを$\alpha$とすると，動径$\text{OP}$の表す角$\theta$は

\begin{align} \theta=\alpha+360^\circ\times n \end{align} ($n$は整数)

のようにあらわされる．

動径の表す角

次の角の動径を$\text{OP}$とするとき，動径$\text{OP}$の表す角を

\begin{align} \alpha+360^\circ\times n \end{align} ($n$は整数)

の形で表せ．ただし，$0^\circ\leqq\alpha<360^\circ$とする．

  1. $420^\circ$
  2. $1450^\circ$
  3. $-80^\circ$
  4. $-895^\circ$

  1. $420^\circ=360^\circ\times1+60^\circ$なので$\boldsymbol{60^\circ+360^\circ\times n}$
  2. $1450^\circ=360^\circ\times4+10^\circ$なので$\boldsymbol{10^\circ+360^\circ\times n}$
  3. $-80^\circ=360^\circ\times(-1)+280^\circ$なので$\boldsymbol{280^\circ+360^\circ\times n}$
  4. $-895^\circ=360^\circ\times(-3)+185^\circ$なので$\boldsymbol{185^\circ+360^\circ\times n}$