指数関数の性質について

指数関数の性質について

$y = 2^x$のグラフから学んできたことは，次のようにまとめることができる． 指数関数$y = a^x$のグラフを見ながら1つ1つ確認しよう．

指数関数の性質

指数関数$y=a^x$について，次のようにまとめることができる．

指数関数の性質の図

  1. 定義域は実数全体，値域は正の実数全体である．

  2. グラフは定点$(0,~1)$を通り，$x$軸が漸近線となる．

  3. 単調な関数であるから，$x$の値と$y$の値は1対1に定まる，すなわち

    \begin{align} a^{x_1}=a^{x_2}\Longleftrightarrow{}x_1=x_2 \end{align}

    が成り立つ．

  4. 関数の増加と減少について

    1. $a \gt 1$のとき

      \[x_1 \lt x_2\Longleftrightarrow{}a^{x_1} \lt a^{x_2}\]

    2. $0 \lt a \lt 1$のとき

      \[x_1 \lt x_2\Longleftrightarrow{}a^{x_1} \gt a^{x_2}\]

吹き出し指数関数の性質について

$0 \lt a \lt 1$のときは，$x_1$と$x_2$の大小関係と，$a^{x_1}$と$a^{x_2}$の大小関係は逆になることに注意しよう． たとえば，$4^2 \lt 4^3$だが$(0.9)^2 \gt (0.9)^3$である．

指数の大小関係（底が等しい場合）

次の値を小さいものから順に並べよ．

  1. $\sqrt[3]{4}，\left(\sqrt{2}\right)^3，(0.5)^\frac{1}{3}$
  2. $2^{0.3}\,，4^{-\frac{3}{2}}，8^{-\frac{1}{6}}，\left(\sqrt{2}\right)^3$

  1. それぞれの値は

    指数関数の性質4. より

    指数の大小関係（底が等しい場合）の図その１
    \begin{align} &\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{2^2}=2^\frac{2}{3}\\ &\left(\sqrt{2}~\right)^3=2^\frac{3}{2}\\ &\left(0.5\right)^\frac{1}{3}=\left(2^{-1}\right)^{\frac{1}{3}}=2^{-\frac{1}{3}} \end{align}

    $\blacktriangle$底を$2$でそろえてそれぞれの値を比較できるようにした

    $y = 2^x$は増加関数で，$-\dfrac{1}{3}<\dfrac{2}{3}<\dfrac{3}{2}$だから

    \begin{align} &2^{-\frac{1}{3}}<2^\frac{2}{3}<2^{\frac{3}{2}} \\ \therefore~ &\boldsymbol{4^{-\frac{3}{2}}<8^{-\frac{1}{6}}<2^{0.3}<(\sqrt{2})^3} \end{align}



  2. それぞれの値は

    指数関数の性質4. より

    指数の大小関係（底が等しい場合）の図その２
    \begin{align} &2^{0.3}=2^\frac{3}{10}\\ &4^{-\frac{3}{2}}=\left(2^2\right)^{-\frac{3}{2}}=2^{-3}\\ &8^{-\frac{1}{6}}=\left(2^3\right)^{-\frac{1}{6}}=2^{-\frac{1}{2}}\\ &\left(\sqrt{2}\right)^3=\left(2^\frac{1}{2}\right)^3=2^{\frac{3}{2}} \end{align}

    $\blacktriangle$底を$2$でそろえてそれぞれの値を比較できるようにした

    と計算でき，$y = 2^x$は増加関数で，$-3<-\dfrac{1}{2}<\dfrac{3}{10}<\dfrac{3}{2}$だから

    \begin{align} &2^{-3}<2^{-\frac{1}{2}}<2^\frac{3}{10}<2^\frac{3}{2}\\ \therefore~&\boldsymbol{4^{-\frac{3}{2}}<8^{-\frac{1}{6}}<2^{0.3}<\left(\sqrt{2}~\right)^3} \end{align}

指数を含む1次方程式・1次不等式

次の方程式，または不等式を解け．

  1. $4^x=2^{x+1}$
  2. $4^x>2^{x+3} $
  3. $ \left(\dfrac{1}{3}\right)^{x-2}=27^x$
  4. $9^x\geqq\left(\dfrac{1}{3}\right)^{1-x}$

  1. $4^x=2^{x+1}$

    $\Leftrightarrow~2^{2x}=2^{x+1}$ $\blacktriangleleft$底を$2$でそろえた

    $\Leftrightarrow~2x=x+1$ $\blacktriangleleft$ 指数関数の性質3.

    $\Leftrightarrow~\boldsymbol{x=1}$

  2. $ 4^x>2^{x+3}$

    $\Leftrightarrow~2^{2x}>2^{x+3}$ $\blacktriangleleft$底を$2$でそろえた

    $\Leftrightarrow~2x>x+3$ $\blacktriangleleft$ 指数関数の性質4 .

    $\Leftrightarrow~\boldsymbol{x>3}$

  3. $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x-2}=27^x$

    $\Leftrightarrow~3^{-x+2}=3^{3x}$ $\blacktriangleleft$底を$3$でそろえた

    $\Leftrightarrow~-x+2=3x$ $\blacktriangleleft$ 指数関数の性質3.

    $\Leftrightarrow~\boldsymbol{x=\dfrac{1}{2}}$

    【別解：底を$\dfrac{1}{3}$でそろえる場合】

    $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x-2}=\left(\dfrac{1}{3^3}\right)^{-x}$

    $\Leftrightarrow~\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x-2}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-3x}$ $\blacktriangleleft$底を$\dfrac{1}{3}$でそろえた

    $\Leftrightarrow~x-2=-3x$ $\blacktriangleleft$ 指数関数の性質3.

    $\Leftrightarrow~\boldsymbol{x=\dfrac{1}{2}}$

  4. $ 9^x\geqq\left(\dfrac{1}{3}\right)^{1-x}$

    $\Leftrightarrow~3^{2x}\geqq3^{-1+x}$ $\blacktriangleleft$底を$3$でそろえた

    $\Leftrightarrow~2x\geqq-1+x$ $\blacktriangleleft$ 指数関数の性質3., 4.

    $\Leftrightarrow~\boldsymbol{x\geqq-1}$

    【別解：底を$\dfrac{1}{3}$でそろえる場合】

    $\left(\dfrac{1}{3^2}\right)^{-x}\geqq\left(\dfrac{1}{3}\right)^{1-x}$

    $\Leftrightarrow~\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2x}\geqq\left(\dfrac{1}{3}\right)^{1-x}$ $\blacktriangleleft$底を$\dfrac{1}{3}$でそろえた

    $\Leftrightarrow~-2x\leqq 1-x$ $\blacktriangleleft$ 指数関数の性質3. ,4.

    $\Leftrightarrow~\boldsymbol{x\geqq-1}$

指数を含む2次方程式・2次不等式

次の方程式，または不等式を解け．

  1. $4^x-2^{x+2}-32=0$
  2. $9^x-24\cdot3^{x-1}-9=0 $
  3. $4^x-2^x<2$
  4. $9^x-25\cdot3^x-54>0$

  1. 式を変形すると

    \begin{align} &4^x-2^{x+2}-32=0\\ \Leftrightarrow~&2^{2x}-2^2\cdot2^x-32=0\\ \Leftrightarrow~&(2^x)^2-4\cdot2^x-32=0 \end{align}

    ここで，$2^x = t$とおくと

    \begin{align} &t^2-4t-32=0\\ \Leftrightarrow~&(t+4)(t-8)=0 \end{align}

    $\Leftrightarrow~t=-4~,~~8$ $\tag{1}\label{shisuuwohukumu2zihouteishiki2zihutoushiki1}$

    いま，$t$ のとり得る値の範囲は$t = 2^x > 0$なので， $t = − 4$は不適であり，$\eqref{shisuuwohukumu2zihouteishiki2zihutoushiki1}$を満たす$t $は，$t = 8$のみ．$\blacktriangleleft$ 指数関数の性質1.

    よって

    \begin{align} &2^x=8\\ \Leftrightarrow~&2^x=2^3\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{x=3} \end{align} $\blacktriangleleft$ 指数関数の性質3.

  2. 式を変形すると

    \begin{align} &9^x-24\cdot3^{x-1}-9=0\\ \Leftrightarrow~&3^{2x}-24\cdot3^{-1}\cdot3^x-9=0\\ \Leftrightarrow~&(3^x)^2-8\cdot3^x-9=0 \end{align}

    ここで，$3^x = t$とおくと

    \begin{align} &t^2-8t-9=0\\ \Leftrightarrow~&(t+1)(t-9)=0 \end{align}

    $\Leftrightarrow~t=-1~,~~9$ $\tag{2}\label{shisuuwohukumu2zihouteishiki2zihutoushiki2}$

    いま，$t$ のとり得る値の範囲は$t = 3^x > 0$なので，$ t = − 1$は不適であり，$\eqref{shisuuwohukumu2zihouteishiki2zihutoushiki2}$を満たす$t$ は，$t = 9$のみ．$\blacktriangleleft$指数関数の性質1.

    よって

    \begin{align} &3^x=9\\ \Leftrightarrow~&3^x=3^2\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{x=2} \end{align} $\blacktriangleleft$指数関数の性質3.

  3. 式を変形すると

    \begin{align} &4^x-2^x<2\\ \Leftrightarrow~&2^{2x}-2^x-2<0\\ \Leftrightarrow~&(2^x)^2-2^x-2<0 \end{align}

    ここで，$2^x = t$とおくと

    \begin{align} &t^2-t-2<0\\ \Leftrightarrow~&(t-2)(t+1)<0\end{align}

    $\Leftrightarrow~-1 \lt t \lt 2$ $\tag{3}\label{shisuuwohukumu2zihouteishiki2zihutoushiki3}$

    いま，$t$ のとり得る値の範囲は$t = 2^x > 0$なので， これと$\eqref{shisuuwohukumu2zihouteishiki2zihutoushiki3}$をあわせて，$0 < t < 2$．$\blacktriangleleft$指数関数の性質1.

    よって

    \begin{align} &0<2^x<2\\ \Leftrightarrow~&0<2^x<2^1\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{x<1} \end{align}$\blacktriangleleft$指数関数の性質4.

  4. 式を変形すると

    \begin{align} &9^x-25\cdot3^x-54>0\\ \Leftrightarrow~&3^{2x}-25\cdot3^x-54>0\\ \Leftrightarrow~&(3^x)^2-25\cdot3^x-54>0 \end{align}

    ここで，$3^x = t$とおくと

    \begin{align} &t^2-25t-54>0\\ \Leftrightarrow~&(t+2)(t-27)\end{align}

    $\Leftrightarrow~-2 \lt t \lt 27$ $\tag{4}\label{shisuuwohukumu2zihouteishiki2zihutoushiki4}$

    いま，$t$ のとり得る値の範囲は$t = 3^x > 0$なので， これと$\eqref{shisuuwohukumu2zihouteishiki2zihutoushiki4}$をあわせて，$0 < t < 27$．$\blacktriangleleft$指数関数の性質1.

    よって

    \begin{align} &0<3^x<27\\ \Leftrightarrow~&0<3^x<3^3\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{x<3}\end{align}

    $\blacktriangle$指数関数の性質4.なお，すべての実数$x$ で$3x > 0$なので，$x$ に下限はない

指数を含む2次関数

次の関数の最大値を求めよ．

  1. $y=4^{x+1}-2^{x+2}+2~~(-2\leqq{x}\leqq2)$
  2. $y=-4^x+2^{x+1}+1~~(x\leqq{2})$

  1. $2^x = t$とおくと，$-2\leqq{x}\leqq2$より

    \[2^{-2}\leqq{t}\leqq2^2\] \[\Leftrightarrow~\dfrac{1}{4}\leqq{t}\leqq4\] $\tag{1}\label{shisuuwohukumu2zikansuu1}$
    指数を含む2次関数の解答の図その１

    また

    \begin{align} y&=4^{x+1}-2^{x+2}+2\\ &=4\cdot4^x+2^2\cdot2^x+2\\ &=4\cdot(2^x)^2-4\cdot2^x+2 \end{align}

    より

    \begin{align} y&=4t^2-4t+2\\ &=4\left(t-\dfrac{1}{2}\right)^2+1 \end{align}

    $\eqref{shisuuwohukumu2zikansuu1}$の範囲では，このグラフは図のようになるので

    $(t=4)~x=2$のとき，最大値$\boldsymbol{50}$

    $\left(t=\dfrac{1}{2}\right)~x=-1$のとき，最小値$\boldsymbol{1}$

  2. $2^x = t$とおくと，$x\leqq 2$より

    \[0< t\leqq2^2\] \[\Leftrightarrow~0 \lt t\leqq 4\] $\tag{2}\label{shisuuwohukumu2zikansuu2}$
    指数を含む2次関数の解答の図その２

    また

    \begin{align} y&=-4^x+2^{x+1}+1\\ &=-(2^x)^2+2\cdot2^x+1 \end{align}

    より

    \begin{align} y&=-t^2+2t+1\\ &=-(t-1)^2+2 \end{align}

    $\eqref{shisuuwohukumu2zikansuu2}$の範囲では，このグラフは図のようになるので

    $(t=1)~x=0$のとき，最大値$\boldsymbol{2}$

    $(t=4)~x=2$のとき，最小値$\boldsymbol{-7}$