指数の整数への拡張について

一般に，指数が自然数の場合に成り立つ指数法則1.において，指数 $x$ が $0$ のときにも成り立つとすると

$\begin{align} a^0a^y=a^{0+y}=a^y \end{align}$

であるから， $a^0 = 1$ と考えると都合がよい．

さらに，指数法則1.が $x$ を正の整数として， $y = − x$ のときにも成り立つとすると

$\begin{align} a^{x}a^{-x}=a^{x-x}=a^0=1 \end{align}$

であるから， $a^{-x}=\dfrac{1}{a^x}$ と考えると都合がよい（ $x$ が負の整数の場合も同様である）．

整数に拡張された指数の定義

$0$ でない実数 $a$ に関して， $x$ が整数のとき

$\begin{align} a^0=1~~,~~~a^{-x}=\dfrac{1}{a^x} \end{align}$

とする．

例として $a^n$ をいくつか列挙すると次のようになる．

$\begin{align} &\cdots~,~~a^3~,~~a^2~,~a^1=a~,~~a^0=1~,\\ &~~a^{-1}=\dfrac{1}{a}~,~~a^{-2}=\dfrac{1}{a^2}~,~~a^{-3}=\dfrac{1}{a^3}~,~~\cdots \end{align}$

吹き出し指数の整数への拡張について

「マイナス $x$ 乗は $x$ 乗分の $1$ になる」と覚えよう．

整数に拡張された指数法則

整数 $x，y$ について次のような性質が成り立つ．ただし， $a，b$ は $0$ でない実数とする．

1. $a^xa^y=a^{x+y}$
2. $(a^x)^y=a^{xy}$
3. $(ab)^x=a^xb^x$
1'. $\dfrac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$
3'. $\left(\dfrac{a}{b}\right)^x=\dfrac{a^x}{b^x}$

整数に拡張された指数

$x = 3，y = − 2$ として，整数に拡張された指数法則1.，2.，3. が成り立つのを確認せよ．

整数に拡張された指数の解答

の確認
（左辺） $=a^3a^{-2}=a^3\times\dfrac{1}{a^2}=a$
（右辺） $=a^{3+(-2)}=a$
となり，確かに成立する．

の確認
（左辺） $=(a^3)^{-2}=\dfrac{1}{(a^3)^2}=\dfrac{1}{a^6}$
（右辺） $=a^{3\cdot(-2)}=a^{-6}=\dfrac{1}{a^6}$
となり，確かに成立する．

の確認
（左辺） $=(ab)^{-2}=\dfrac{1}{(ab)^2}=\dfrac{1}{a^2b^2}$
（右辺） $=a^{-2}b^{-2}=\dfrac{1}{a^2}\times\dfrac{1}{b^2}=\dfrac{1}{a^2b^2}$
となり，確かに成立する．

整数に拡張された指数法則1'., 3'.の証明

整数に拡張された指数法則1'.，3'. を，整数に拡張された指数法則1.，2.，3. を用いて証明せよ．

整数に拡張された指数法則1'., 3'.の証明の解答

1'.
の証明
$\begin{align} \dfrac{a^x}{a^y}&=a^x\times\dfrac{1}{a^y}=a^x\times{a^{-y}}\\ &=a^{x-y} \end{align}$ $\blacktriangleleft$ 整数に拡張された指数法則1.

3'.
の証明
$\left(\dfrac{a}{b}\right)^x=\left(a\times\dfrac{1}{b}\right)^x=\left(a\times b^{-1}\right)^x$ $=a^x\times \left(b^{-1}\right)^x$ $\blacktriangleleft$ 整数に拡張された指数法則3. $=a^x\times b^{-x}$ $\blacktriangleleft$ 整数に拡張された指数法則2. $=a^x\times\dfrac{1}{b^x}=\dfrac{a^x}{b^x}$

指数の計算-その1-

次の計算をせよ．

$\dfrac{2\cdot2^{-2}}{2^{-3}}$
$\dfrac{10^{10}}{2^7\cdot5^5}$
$\dfrac{(a^2b)^3}{(-ab^3)^2}$
$\dfrac{(a^5b^{-2})^{-3}}{(a^{-2}b)^5}$

指数の計算-その1-の解答

計算していくと
$\dfrac{2\cdot2^{-2}}{2^{-3}}=2\cdot2^{-2}\cdot2^{3}$ $\blacktriangleleft$ 整数に拡張された指数法則1'. $=2^{1-2+3}$ $\blacktriangleleft$ 整数に拡張された指数法則1. $=2^2=\boldsymbol{4}$

計算していくと
$\dfrac{10^{10}}{2^7\cdot5^5}=(10)^{10}\cdot2^{-7}\cdot5^{-5}$ $\blacktriangleleft$ 整数に拡張された指数法則1'. $=(2\cdot5)^{10}\cdot2^{-7}\cdot5^{-5}$ $=2^{10}\cdot5^{10}\cdot2^{-7}\cdot5^{-5}$ $\blacktriangleleft$ 整数に拡張された指数法則3. $=2^{10-7}\cdot5^{10-5}$ $\blacktriangleleft$ 整数に拡張された指数法則1. $=2^3\cdot5^5=\boldsymbol{25000}$

計算していくと
$\dfrac{(a^2b)^3}{(-ab^3)^2}=\dfrac{a^6b^3}{a^2b^6}$ $\blacktriangleleft$ 整数に拡張された指数法則3. $=a^6b^3a^{-2}b^{-6}$ $\blacktriangleleft$ 整数に拡張された指数法則1'. $=a^{6-2}b^{3-6}$ $\blacktriangleleft$ 整数に拡張された指数法則1. $=\boldsymbol{a^4b^{-3}}$

計算していくと
$\dfrac{(a^5b^{-2})^{-3}}{(a^{-2}b)^5}=\dfrac{a^{-15}b^6}{a^{-10}b^5}$ $\blacktriangleleft$ 整数に拡張された指数法則3. $=a^{-15}b^6a^{10}b^{-5}$ $\blacktriangleleft$ 整数に拡張された指数法則1'. $=a^{-15+10}b^{6-5}$ $\blacktriangleleft$ 整数に拡張された指数法則1. $=\boldsymbol{a^{-5}b}$