多変数関数と図形の方程式

多変数関数とは何か

変数を2つ以上持つような関数のことを 多変数関数 (multivariable function)という．もし，ある関数が$x,~y$を変数にもつならば，その関数は$f(x,~y)$のように表される．

たとえば，勝ちに3点，引き分けに1点，負けに0点を与えるゲームを考える．

勝った回数を$x$回，引き分けた回数を$y$回とすれば，合計点は$x,~y$の値によって決まるので$x,~y$の関数である．これを$f(x,~y)$とおけば

勝った回数($x$)と引き分けの回数($y$)から合計点を決める規則

\begin{align} f(x,~y)=3x+y \end{align}

と求められる．$x,~y$はどちらも変数である．

変数への値の代入は，変数が1つのときと同じように以下のように書く．

\begin{align} f(6,~4)=18+4=22 \end{align}

この式は，6勝4引き分けならば合計点は22点であることを表している．

$g(x,~y)=x^2 +y^2 -10$のとき，$g(1,~1),~g(3,-1),~g(-4,~t)$の値を求めよ．
1個200円のりんごを$x$個，1個100円のみかんを$y$個買うときの合計金額を$s(x,~y)$円とするとき，$s(x,~y)$を$x$と$y$の式で表せ．

\begin{align} &g(1,~1)=1^2+1^2-10=\boldsymbol{-8}\\ &g(3,-1)=3^2+(-1)^2-10=\boldsymbol{0}\\ &g(-4,~t)=(-4)^2+t^2-10=\boldsymbol{t^2+6} \end{align}
$\boldsymbol{s(x,~y)=200x+100y}$

FTEXT 数学Iで学んだ放物線や，直線の方程式で学んだ直線，円の方程式で学んだ円のなどの図形の方程式は，適当な多変数関数$f(x,~y)$をもちいて，方程式

\begin{align} f(x,~y)=0 \end{align}

で表すことができる．

たとえば，2変数関数を$f(x,~y)=y-2x_1$とおけば，方程式$f(x,~y)=0$は

\begin{align} &y-2x_1=0\\ \Leftrightarrow~&y=2x+1 \end{align}

つまり，傾きが$2$で切片が$1$の直線を表す．

もう1例考えてみよう．2変数関数を$g(x,~y)=x^2+y^2-1$とおけば，方程式$g(x,~y)=0$は

\begin{align} &x^2+y^2-1=0\\ \Leftrightarrow~&x^2+y^2=1 \end{align}

つまり，原点$(0,~0)$が中心で半径が$1$の円を表す．

図形の方程式は，適当な多変数関数$f(x,~y)$をもちいて，方程式

\begin{align} f(x,~y)=0 \end{align}

で表せる．

2変数関数$f(x,~y)$がつぎの1.～3.で定義されるとき，方程式$f(x,~y)=0$の表す図形を$xy$平面上に図示せよ．

$f(x,~y)=0$より
\begin{align} &x^2 +2x+y^2 -4y=0\\ ~~\Leftrightarrow&~~ (x+1)^2 + (y-2)^2=5 \end{align}
となるので，グラフは図のようになる．