多変数関数と図形の方程式

多変数関数とは何か

変数を2つ以上持つような関数のことを 多変数関数 (multivariable function)という．もし，ある関数が $x,~y$ を変数にもつならば，その関数は $f(x,~y)$ のように表される．

たとえば，勝ちに3点，引き分けに1点，負けに0点を与えるゲームを考える．

勝った回数を $x$ 回，引き分けた回数を $y$ 回とすれば，合計点は $x,~y$ の値によって決まるので $x,~y$ の関数である．これを $f(x,~y)$ とおけば

勝った回数( $x$ )と引き分けの回数( $y$ )から合計点を決める規則

$\begin{align} f(x,~y)=3x+y \end{align}$

と求められる． $x,~y$ はどちらも変数である．

変数への値の代入は，変数が1つのときと同じように以下のように書く．

$\begin{align} f(6,~4)=18+4=22 \end{align}$

この式は，6勝4引き分けならば合計点は22点であることを表している．

$g(x,~y)=x^2 +y^2 -10$ のとき， $g(1,~1),~g(3,-1),~g(-4,~t)$ の値を求めよ．
1個200円のりんごを $x$ 個，1個100円のみかんを $y$ 個買うときの合計金額を $s(x,~y)$ 円とするとき， $s(x,~y)$ を $x$ と $y$ の式で表せ．

$\begin{align} &g(1,~1)=1^2+1^2-10=\boldsymbol{-8}\\ &g(3,-1)=3^2+(-1)^2-10=\boldsymbol{0}\\ &g(-4,~t)=(-4)^2+t^2-10=\boldsymbol{t^2+6} \end{align}$
$\boldsymbol{s(x,~y)=200x+100y}$

FTEXT 数学Iで学んだ放物線や，直線の方程式で学んだ直線，円の方程式で学んだ円のなどの図形の方程式は，適当な多変数関数 $f(x,~y)$ をもちいて，方程式

$\begin{align} f(x,~y)=0 \end{align}$

で表すことができる．

たとえば，2変数関数を $f(x,~y)=y-2x_1$ とおけば，方程式 $f(x,~y)=0$ は

$\begin{align} &y-2x_1=0\\ \Leftrightarrow~&y=2x+1 \end{align}$

つまり，傾きが $2$ で切片が $1$ の直線を表す．

もう1例考えてみよう．2変数関数を $g(x,~y)=x^2+y^2-1$ とおけば，方程式 $g(x,~y)=0$ は

$\begin{align} &x^2+y^2-1=0\\ \Leftrightarrow~&x^2+y^2=1 \end{align}$

つまり，原点 $(0,~0)$ が中心で半径が $1$ の円を表す．

図形の方程式は，適当な多変数関数 $f(x,~y)$ をもちいて，方程式

$\begin{align} f(x,~y)=0 \end{align}$

で表せる．

2変数関数 $f(x,~y)$ がつぎの1.～3.で定義されるとき，方程式 $f(x,~y)=0$ の表す図形を $xy$ 平面上に図示せよ．

$f(x,~y)=0$ より
$\begin{align} &x^2 +2x+y^2 -4y=0\\ ~~\Leftrightarrow&~~ (x+1)^2 + (y-2)^2=5 \end{align}$
となるので，グラフは図のようになる．