2つ以上の変数に関する恒等式

$a,b,c,d,e,f$ を定数とするとき

\[ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0\]

が $x,y$ についての恒等式であるとき，係数にはどのような関係が成り立つのか考えてみる．

まず，左辺を $x$ について整理すると

\[ax^2+(cy+d)x+(by^2+ey+f)=0\]

となるが，まず $x$ についての恒等式であるから，多項式が恒等的に $0$ になる条件より次のことが成り立つ．

\[a=0~,~~cy+d=0~,~~by^2+ey+f=0\]

また，これらが $y$ についての恒等式でもあるから，結局得られるのは

\[a=0~,~~b=0~,~~c=0\] \[~,~~d=0~,~~e=0~,~~f=0\]

となる．

一般に，次にようにまとめることができる．