2次方程式の場合

2次方程式$x^2 + 2x + 3 = 0$は

\begin{align} &x^2+2x+3=0\\ \Leftrightarrow~&x=-1\pm\sqrt{11}i \end{align}

と解け，共役な複素数である$-1+\sqrt{11}i$と$-1-\sqrt{11}i$を解にもつのがわかる．

$a_2，a_1，a_0$を実数とするとき，これらを係数とする2次方程式

\begin{align} a_2x^2+a_1x+a_0=0 \end{align}

は

\begin{align} x=\dfrac{-a_1\pm\sqrt{{a_1}^2-4a_2a_0}}{2a_2} \end{align}

と解けるので，判別式${a_1}^2-4a_2a_0$の値が負であるとき，共役な複素数である

\begin{align} \dfrac{-a_1+\sqrt{4a_2a_0-{a_1}^2}i}{2a_2}\end{align}と\begin{align}\dfrac{-a_1-\sqrt{4a_2a_0-{a_1}^2}i}{2a_2} \end{align}

を解にもつことがわかる．

判別式の値が負のとき，2次方程式が共役な複素数を解にもつことは， ，次のような方法で示すこともできる．

$a_2，a_1，a_0$を実数とするとき，これらを係数とする2次方程式

\begin{align} a_2x^2+a_1x+a_0=0 \end{align} $\tag{1}\label{2zihouteisikinobaai1}$

が$x = \alpha$という複素数解をもつとすると， $\eqref{2zihouteisikinobaai1}$に$\alpha$を代入して

\begin{align} &a_2\alpha^2+a_1\alpha+a_0=0 \end{align} $\tag{2}\label{2zihouteisikinobaai2}$

が成り立つ．

いま，$\eqref{2zihouteisikinobaai1}$ の左辺に$x=\overline{\alpha}$を代入してみると

\begin{align} &a_2\overline{\alpha}^2+a_1\overline{\alpha}+a_0 \end{align} \begin{align} &=a_2\overline{\alpha^2}+a_1\overline{\alpha}+a_0 \end{align} ←共役な複素数の性質 \begin{align} &=\overline{a_2}\ \overline{\alpha^2}+\overline{a_1}\ \overline{\alpha}+\overline{a_0} \end{align} ←複素数の実数条件と純虚数条件 \begin{align} &=\overline{a_2\alpha^2}+\overline{a_1\alpha}+\overline{a_0} \end{align} ←共役な複素数の性質 \begin{align} &=\overline{a_2\alpha^2+a_1\alpha+a_0} \end{align} ←共役な複素数の性質 \begin{align} &=0 \end{align} ←$\eqref{2zihouteisikinobaai2}$より

となるので，$\eqref{2zihouteisikinobaai1}$は共役な複素数解$x=\overline{\alpha}$をもつ．