簡単な高次不等式

高次不等式を解くことは一般的には難しいが,高次方程式と同様,因数分解できるときには解くことができる. たとえば,方程式$x^3\geqq1$では

\begin{align} &x^3\geqq1\\ \Leftrightarrow~&x^3-1\geqq0\\ \Leftrightarrow~&(x-1)(x^2+x+1)\geqq0&\qquad \end{align}

←$a^3 – b^3 = (a − b)(a^2 + ab + b^2)$を使った

いま,$x^2+x+1=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0$なので,

\begin{align} (x-1)&\underbrace{(x^2+x+1)}_{}\geqq0となるのは,x-1\geqq0,\\ & \ \ \ \ \ 常に正 \end{align}

つまり$x\geqq1$と解くことができる.

簡単な高次不等式

次の不等式を解け.

  1. $x^3\geqq27$
  2. $x^3<-8$
  3. $x^3-9x<0$
  4. $x^3-x^2\geqq0$


  1. \begin{align} &x^3\geqq27\\ \Leftrightarrow~&x^3-27\geqq0\\ \Leftrightarrow~&(x-3)(x^2+3x+9)\geqq0 \end{align} $\blacktriangleleft a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$を使った

    いま,$x^2+3x+9=\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{27}{4}>0$なので, $(x-3)(x^2+3x+9)\geqq0$となるのは,$x-3\geqq0$,つまり$\boldsymbol{x\geqq3}$である.


  2. \begin{align} &x^3<-8\\ \Leftrightarrow~&x^3+8<0\\ \Leftrightarrow~&(x+2)(x^2-2x+4)<0 \end{align} $\blacktriangleleft a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$を使った

    いま,$x^2-2x+4=\left(x-1\right)^2+3>0$なので,$ (x + 2)(x2 − 2x + 4) < 0$となるのは,$x + 2 < 0$,つまり$\boldsymbol{x<-2}$である.


  3. \begin{align} &x^3-9x<0\\ \Leftrightarrow~&x(x^2-9)<0\\ \Leftrightarrow~&(x+3)x(x-3)<0 \end{align}

    いま,$(x + 3)x(x − 3)$の符号は$x$ の値に応じて,以下のようにまとめることができる.

    $x$$\cdots$$-3$$\cdots$$0$$\cdots$$3$$\cdots$
    $x+3$$-$$0$$+$$+$$+$$+$$+$
    $x$$-$$-$$-$$0$$+$$+$$+$
    $x-3$$-$$-$$-$$-$$-$$0$$+$
    $(x+3)x(x-3)$$-$$0$$+$$0$$-$$3$$+$

    これより,$(x + 3)x(x − 3) < 0$を満たすのは,$\boldsymbol{x\lt -3~,~~0\lt x\lt 3}$である.

    【別解:3次関数のグラフを使う方法】   $\blacktriangleleft$この解法について詳しくは3次関数のグラフを使った3次不等式の解法で学ぶ

    簡単な高次不程式の解答の図その1

    $f(x) = x3 − 9x < 0$とおくと

    \begin{align} f(x)&=x(x^2-9)=(x+3)x(x-3) \end{align}

    より$y = f (x)$のグラフは図となるので,$f (x) < 0$を満たすのは,$\boldsymbol{x \lt -3~,~~0 \lt x \lt 3}$である.


  4. \begin{align} &x^3-x^2\geqq0\\ \Leftrightarrow~&x^2(x-1)\geqq0 \end{align}

    いま,$x^2(x − 1)$の符号は$x$ の値に応じて,以下のようにまとめることができる.

    $x$$\cdots$$0$$\cdots$$1$$\cdots$
    $x^2$$-$$0$$+$$+$$+$
    $x-1$$-$$-$$-$$0$$+$
    $x^2(x-3)$$+$$0$$-$$0$$+$

    これより,$x^2(x-1)\geqq0$を満たすのは,$\boldsymbol{x=0~,~~1\leqq x}$である.

    【別解:3次関数のグラフを使う方法】   $\blacktriangleleft$この解法について詳しくは3次関数のグラフを使った3次不等式の解法で学ぶ

    $f(x) = x^3 – x^2 < 0$とおくと

    \begin{align} f(x)&=x^2(x-1) \end{align}

    より$y = f (x)$のグラフは図となるので,$f(x)\geqq0$を満たすのは,$\boldsymbol{x=0~,~~1\leqq x}$である.

    簡単な高次不程式の解答の図その2