実数倍に関する対数の性質

実数倍に関する対数の性質について

常用対数表の表によれば

\begin{align} \log_{10}3\fallingdotseq0.4771~,~~\log_{10}9\fallingdotseq0.9542 \end{align}

なので

\begin{align} 2\log_{10}3=\log_{10}3^2~~(=\log_{10}9) \end{align}

が成り立っているのがわかる．このような関係が成り立つのは偶然ではなく，一般的には次のようにまとめられる．

$a$ は$a > 0，a\neq1$を満たし，$M > 0，r$ は任意の実数のとき

が成り立つ．

真数にある指数は$\log$の前に飛び出す，と覚えよう．

たとえば，$\log_3{2^3}=3\log_3{2}$，$\log_2\left(\dfrac{3}{5}\right)^4=4\log_2\dfrac{3}{5}$などもいえる．

実数に拡張された指数法則

に，$a$を底とする対数を考えることにより，実数倍に関する対数の性質

を証明せよ．

2.指数法則$(a^x)^y = a^{xy}$において，$a$を底とする対数をとると $\blacktriangleleft$指数を法則を対数の世界から眺めるため対数をとった
\begin{align} &\log_a(a^x)^y=\log_aa^{xy}\\ \Leftrightarrow~&\log_a(a^x)^y=xy \end{align} $\blacktriangleleft$対数の定義
ここで，$a^x = M，y = r$とおくと，$x = \log_aM$なので $\blacktriangleleft$対数の定義
\begin{align} &\log_aM^r=r\log_aM \end{align}

次の式を簡単にせよ．

式を変形すると \[\log_{10}{25}+\log_{10}4\] \[=\log_{10}(25\times4)\] $\blacktriangleleft$和と差に関する対数の性質 \[=\log_{10}10^2=\boldsymbol{2}\] $\blacktriangleleft$対数の定義
式を変形すると \[\log_5{45}+2\log_5\dfrac{5}{3}\] \[=\log_5{45}+\log_5\left(\dfrac{5}{3}\right)^2\] $\blacktriangleleft$実数倍に関する対数の性質 \[=\log_5{45}+\log_5\dfrac{25}{9}\] \[=\log_5\dfrac{45\times25}{9}\] $\blacktriangleleft$和と差に関する対数の性質 \[=\log_55^3=\boldsymbol{3}\] $\blacktriangleleft$対数の定義
式を変形すると \[\log_3{72}-3\log_3{2}\] \[=\log_3{72}-\log_32^3\] $\blacktriangleleft$実数倍に関する対数の性質 \[=\log_3\dfrac{72}{8}\] $\blacktriangleleft$和と差に関する対数の性質 \[=\log_33^2=\boldsymbol{2}\] $\blacktriangleleft$対数の定義
式を変形すると \[\log_2\sqrt{5}-\dfrac{1}{2}\log_2\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}\log_2\sqrt[3]{10}\] \[=\log_25^\frac{1}{2}-\log_2\left(\dfrac{1}{2}\right)^\frac{1}{2}-\log_2{(10^\frac{1}{3})^\frac{3}{2}}\] $\blacktriangleleft$実数倍に関する対数の性質 \[=\log_25^\frac{1}{2}-\log_2\dfrac{1}{2^\frac{1}{2}}-\log_2{10^\frac{1}{2}}\] \[=\log_2\dfrac{5^\frac{1}{2}}{2^\frac{1}{2}\times10^\frac{1}{2}}\] $\blacktriangleleft$和と差に関する対数の性質 \[=\log_2\dfrac{5^\frac{1}{2}}{2^\frac{1}{2}\times2^\frac{1}{2}\times5^\frac{1}{2}}\] \[=\log_22^{-1}=\boldsymbol{-1}\]