実数倍に関する対数の性質

実数倍に関する対数の性質について

常用対数表の表によれば

$\begin{align} \log_{10}3\fallingdotseq0.4771~,~~\log_{10}9\fallingdotseq0.9542 \end{align}$

なので

$\begin{align} 2\log_{10}3=\log_{10}3^2~~(=\log_{10}9) \end{align}$

が成り立っているのがわかる．このような関係が成り立つのは偶然ではなく，一般的には次のようにまとめられる．

$a$ は $a > 0，a\neq1$ を満たし， $M > 0，r$ は任意の実数のとき

が成り立つ．

真数にある指数は $\log$ の前に飛び出す，と覚えよう．

たとえば， $\log_3{2^3}=3\log_3{2}$ ， $\log_2\left(\dfrac{3}{5}\right)^4=4\log_2\dfrac{3}{5}$ などもいえる．

実数に拡張された指数法則

に， $a$ を底とする対数を考えることにより，実数倍に関する対数の性質

を証明せよ．

2.指数法則 $(a^x)^y = a^{xy}$ において， $a$ を底とする対数をとると $\blacktriangleleft$ 指数を法則を対数の世界から眺めるため対数をとった
$\begin{align} &\log_a(a^x)^y=\log_aa^{xy}\\ \Leftrightarrow~&\log_a(a^x)^y=xy \end{align}$ $\blacktriangleleft$ 対数の定義
ここで， $a^x = M，y = r$ とおくと， $x = \log_aM$ なので $\blacktriangleleft$ 対数の定義
$\begin{align} &\log_aM^r=r\log_aM \end{align}$

次の式を簡単にせよ．

式を変形すると $\log_{10}{25}+\log_{10}4$ $=\log_{10}(25\times4)$ $\blacktriangleleft$ 和と差に関する対数の性質 $=\log_{10}10^2=\boldsymbol{2}$ $\blacktriangleleft$ 対数の定義
式を変形すると $\log_5{45}+2\log_5\dfrac{5}{3}$ $=\log_5{45}+\log_5\left(\dfrac{5}{3}\right)^2$ $\blacktriangleleft$ 実数倍に関する対数の性質 $=\log_5{45}+\log_5\dfrac{25}{9}$ $=\log_5\dfrac{45\times25}{9}$ $\blacktriangleleft$ 和と差に関する対数の性質 $=\log_55^3=\boldsymbol{3}$ $\blacktriangleleft$ 対数の定義
式を変形すると $\log_3{72}-3\log_3{2}$ $=\log_3{72}-\log_32^3$ $\blacktriangleleft$ 実数倍に関する対数の性質 $=\log_3\dfrac{72}{8}$ $\blacktriangleleft$ 和と差に関する対数の性質 $=\log_33^2=\boldsymbol{2}$ $\blacktriangleleft$ 対数の定義
式を変形すると $\log_2\sqrt{5}-\dfrac{1}{2}\log_2\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}\log_2\sqrt[3]{10}$ $=\log_25^\frac{1}{2}-\log_2\left(\dfrac{1}{2}\right)^\frac{1}{2}-\log_2{(10^\frac{1}{3})^\frac{3}{2}}$ $\blacktriangleleft$ 実数倍に関する対数の性質 $=\log_25^\frac{1}{2}-\log_2\dfrac{1}{2^\frac{1}{2}}-\log_2{10^\frac{1}{2}}$ $=\log_2\dfrac{5^\frac{1}{2}}{2^\frac{1}{2}\times10^\frac{1}{2}}$ $\blacktriangleleft$ 和と差に関する対数の性質 $=\log_2\dfrac{5^\frac{1}{2}}{2^\frac{1}{2}\times2^\frac{1}{2}\times5^\frac{1}{2}}$ $=\log_22^{-1}=\boldsymbol{-1}$