$36^\circ$の三角比とその周辺

$36^\circ$ の三角比

$36^\circ$ の三角比

$\triangle\text{ACD}$ に注目し、右図のように、点 $\text{D}$ から辺 $\text{AC}$ へ垂線 $\text{DH}$ を引く。

直角三角形 $\text{DCH}$ に、余弦の定義を用いて \begin{align} \cos{36^\circ}=&\dfrac{\text{CH}}{\text{DC}}\\ =&\dfrac{\dfrac{1}{2}\text{CA}}{1}=\dfrac{\sqrt{5}+1}{4} \end{align} さらに、三角比の相互関係 $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ を用いて \begin{align} \sin^2{36^\circ}=&1-\cos^2{36^\circ}\\ =&1-\left(\dfrac{\sqrt{5}+1}{4}\right)^2\\ =&1-\dfrac{6+2\sqrt{5}}{16}\\ =&\dfrac{10-2\sqrt{5}}{16} \end{align} であり、$\sin36^\circ\gt0$ であるから、$\sin36^\circ=\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$ である。

また、これらより \begin{align} \tan{36^\circ}=&\dfrac{\sin36^\circ}{\cos36^\circ}\\ =&\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{1+\sqrt{5}}\\ =&（計算省略）\\ =&\sqrt{5-2\sqrt{5}} \end{align} である。

$36^\circ$ とその周辺の三角比

$\sin36^\circ=\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$、$\cos36^\circ=\dfrac{\sqrt{5}+1}{4}$、$\tan36^\circ=\sqrt{5-2\sqrt{5}}$ を利用して次の三角比の値を求めよ。

  1. $\sin54^\circ$、$\cos54^\circ$、$\tan54^\circ$
  2. $\sin126^\circ$、$\cos126^\circ$、$\tan126^\circ$
  3. $\sin144^\circ$、$\cos144^\circ$、$\tan144^\circ$

  1. $54^\circ=90^\circ-36^\circ$ であるから、『$90^\circ-A$ の三角比』より次のように求めることができる。
    1の図
    \begin{align} \sin54^\circ =&\cos36^\circ=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{5}+1}{4}}\\ \cos54^\circ =&\sin36v=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}}\\ \tan54^\circ =&\dfrac{1}{\tan36^\circ}=\boldsymbol{\dfrac{1}{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}} \end{align}
  2. $126^\circ=90^\circ+36^\circ$ であるから、『$90^\circ+\theta$ の三角比』より次のように求めることができる。
    2の図
    \begin{align} \sin126^\circ=&\cos36^\circ=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{5}+1}{4}}\\ \cos126^\circ=&-\sin36^\circ=\boldsymbol{-\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}}\\ \tan126^\circ=&-\dfrac{1}{\tan36^\circ}=\boldsymbol{-\dfrac{1}{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}} \end{align}
  3. $144^\circ=180^\circ-36^\circ$ であるから、『$180^\circ-\theta$ の三角比』より次のように求めることができる。
    3の図
    \begin{align} \sin144^\circ=&\sin36^\circ=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}}\\ \cos144^\circ=&-\cos36^\circ=\boldsymbol{-\dfrac{\sqrt{5}+1}{4}}\\ \tan144^\circ=&-\tan36^\circ=\boldsymbol{-\sqrt{5-2\sqrt{5}}} \end{align}