$72^\circ$の三角比とその周辺

$72^\circ$ の三角比

$72^\circ$ の三角比

今度は、$\triangle\text{ABD}$ に着目し、右図のように、点 $\text{A}$ から辺 $\text{BD}$ へ垂線 $\text{AH'}$ を引く。

直角三角形 $\text{ABH'}$ に、余弦の定義を用いて \begin{align} \cos{72^\circ}=&\dfrac{\text{BH'}}{\text{AB}}\\ =&\dfrac{\dfrac{1}{2}\text{BD}}{1}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4} \end{align} さらに、三角比の相互関係 $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ を用いて \begin{align} \sin^2{72^\circ}=&1-\cos^2{72^\circ}\\ =&1-\left(\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^2\\ =&1-\dfrac{6-2\sqrt{5}}{16}\\ =&\dfrac{10+2\sqrt{5}}{16} \end{align} であり、$\sin72^\circ\gt0$ であるから、$\sin72^\circ=\dfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$ である。

また、これらより \begin{align} \tan{72^\circ}=&\dfrac{\sin72^\circ}{\cos72^\circ}\\ =&\dfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}-1}\\ =&（計算省略）\\ =&\sqrt{5+2\sqrt{5}} \end{align} である。

$72^\circ$ とその周辺の三角比

$\sin72^\circ=\dfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$、$\cos72^\circ=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$、$\tan72^\circ=\sqrt{5+2\sqrt{5}}$ を利用して次の三角比を求めよ。

  1. $\sin18^\circ$、$\cos18^\circ$、$\tan18^\circ$
  2. $\sin108^\circ$、$\cos108^\circ$、$\tan108^\circ$
  3. $\sin162^\circ$、$\cos162^\circ$、$\tan162^\circ$

  1. $18^\circ=90^\circ-72^\circ$ であるから、『$90^\circ-A$ の三角比』より次のように求めることができる。
    1の図
    \begin{align} \sin18^\circ =&\cos72^\circ=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}}\\ \cos18^\circ =&\sin72^\circ=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}}\\ \tan18^\circ =&\dfrac{1}{\tan72^\circ}=\boldsymbol{\dfrac{1}{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}} \end{align}
  2. $108^\circ=180^\circ-72^\circ$ であるから、『$180^\circ-\theta$ の三角比』より次のように求めることができる。
    2の図
    \begin{align} \sin108^\circ=&\sin72^\circ=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}}\\ \cos108^\circ=&-\cos72^\circ=\boldsymbol{-\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}}\\ \tan108^\circ=&-\tan72^\circ=\boldsymbol{-\sqrt{5+2\sqrt{5}}} \end{align}
  3. $162^\circ=90^\circ+72^\circ$ であるから、『$90^\circ+\theta$ の三角比』より次のように求めることができる。
    3の図
    \begin{align} \sin162^\circ=&\cos72^\circ=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}}\\ \cos162^\circ=&-\sin72^\circ=\boldsymbol{-\dfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}}\\ \tan162^\circ=&-\dfrac{1}{\tan72^\circ}=\boldsymbol{-\dfrac{1}{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}} \end{align}