$36^\circ$、$72^\circ$、$72^\circ$の三角形を考える

$36^\circ$、$72^\circ$、$72^\circ$ の三角形

$18^\circ$ に関する三角比を考えるため、まず、右図のように、$\angle{A}=\angle{B}=72^\circ$ の2等辺三角形 $\text{ABC}$ を考える。$\text{AB}$ の長さはいくつでもよいが、考えやすくするためここでは $1$ としておく。

ここで、右図の奥のように $\angle{A}$ の2等分線と辺 $\text{BC}$ の交点を $\text{D}$ とすると、 \[\angle\text{DAC}=\angle\text{DCA}=36^\circ\] だから $\triangle\text{DAC}$ は2等辺三角形になり、 \[\angle\text{ADB}=\angle\text{ABD}=72^\circ\] だから $\triangle\text{ABD}$ も2等辺三角形になる。これらより、$\text{CD}=\text{AD}=\text{AB}=1$ が成り立つ。

さらに、$\text{BD}=x$ とおくと、$\triangle\text{CAB}\sim\triangle\text{ABD}$ であるから、$\text{CB}:\text{AB}=\text{AB}:\text{BD}$ が成り立ち、$\text{AB}^2=\text{CB}\times\text{BD}$ より \[1\times1=(1+x)\times{x}~\Leftrightarrow~x^2+x-1=0\] $x\gt0$ であるから、解の公式より $\text{BD}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$ と求まる。これより \[\text{BC}=\text{BD}+1=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}+1=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\] となる。