絶対値とは何か

絶対値の中身が「$0$ 以上か」「負か」で、絶対値の外れ方が違ってくるので、場合に分けて証明する。

1. • a) $a\geqq0$ のとき、$|a|=a$ であるから \[（左辺）=|a|^2=a^2=（右辺）\]
   • b) $a\lt0$ のとき、$|a|=-a$ であるから \begin{align}（左辺）&=|a|^2=(-a)^2\\&=a^2=（右辺）\end{align}
   以上a)、b)より、$|a|^2=a^2$ が成り立つ。
2. 右欄外の表のように、4つの場合に分けて考える。
   • 1) $a\geqq0$、$b\geqq0$ のとき
     $ab\geqq0$、$|a|=a$、$|b|=b$ であるから \[（左辺）=|ab|=ab\] \[（右辺）=|a||b|=ab\] となり成立。
   • 2) $a\geqq0$、$b\lt0$ のとき
     $ab\leqq0$、$|a|=a$、$|b|=-b$ であるから \[（左辺）=|ab|=-ab\] \[（右辺）=|a||b|=a(-b)=-ab\] となり成立。
   • 3) ii)の証明において、$a$ と $b$ を入れ替えればiii)の証明になっているので、成立する。
   • 4) $a\lt0$、$b\lt0$ のとき
     $ab\gt0$、$|a|=-a$、$|b|=-b$ であるから \[（左辺）=|ab|=ab\] \[（右辺）=|a||b|=(-a)(-b)=ab\]
   以上より、いずれの場合も $|ab|=|b|$ が成り立つ。
3. まず、 $\left|\dfrac{1}{b}\right|=\dfrac{1}{|b|}\tag{1}\label{zettaiti1}$ であることを示す。
   • a) $b\gt0$ のとき
     $\dfrac{1}{b}\gt0$、$|b|=b$ であるから \[(\eqref{zettaiti1}の左辺）=\left|{\dfrac{1}{b}}\right|=\dfrac{1}{b}\] \[(\eqref{zettaiti1}の右辺）=\dfrac{1}{|b|}=\dfrac{1}{b}\] となり成立。
   • b) $b\lt0$ のとき
     $\dfrac{1}{b}\lt0$、$|b|=-b$ であるから \[(\eqref{zettaiti1}の左辺）=\left|{\dfrac{1}{b}}\right|=-\dfrac{1}{b}\] \[(\eqref{zettaiti1}の右辺）=\dfrac{1}{|b|}=\dfrac{1}{-b}=-\dfrac{1}{b}\] となり成立。
   以上a)、b)より $\eqref{zettaiti1}$ が成立。これより \begin{align} \left|{\dfrac{a}{b}}\right|=&|{a\cdot\dfrac{1}{b}}|\\ =&|a|\left|{\dfrac{1}{b}}\right|\\ =&|a|\dfrac{1}{|b|}\\ =&\dfrac{|a|}{|b|}\\ \end{align} となり、$\left|{\dfrac{a}{b}}\right|=\dfrac{|a|}{|b|}$ が成り立つ。