絶対値

絶対値とは何か

絶対値についての数直線の図

絶対値についての数直線の図

数直線上で、原点 $\text{O}$ と点 $\text{A}(a)$ の距離のことを $a$ の絶対値 (absolute value) といい、$|a|$ と書く。たとえば \[|2|=2,~|-4|=4\] である。この例からわかるように

正の数はその値がそのまま絶対値となり、
負の数は符号を変えた数が絶対値となる。
符号を変えるには、$-1$ 倍すればよい。たとえば、$-4$ を $4$ に変えるには \[(-1)\times(-4)=4\] とすればよい。まとめるとつぎのようになる。

絶対値

$|a|$ は場合に分けて \[|a|=\begin{cases}a&(a\geqq0)\\-a&(a\lt0)\end{cases}\] と表すことができる。絶対値について \[|a|\geqq0~~,~~|a|=|-a|\] が成り立つ。

絶対値を示す数直線

絶対値を示す数直線

数直線上の2点 $\text{A}(a)$ と $\text{B}(b)$ の距離 $\text{AB}$ は、$a{\leqq}b$ のときでも、$b{\lt}a$ のときでも、ともに \[\text{AB}=|b-a|\] で表すことができる。

暗記絶対値の性質

$a$、$b$ に関して次の等式が成り立つことを証明せよ。ただし、3.では $b\neq0$ とする。

  1. $|a|^2=a^2$
  2. $|ab|=|a||b|$
  3. $\left|\dfrac{a}{b}\right|=\dfrac{|a|}{|b|}$

絶対値の中身が「$0$ 以上か」「負か」で、絶対値の外れ方が違ってくるので、場合に分けて証明する。

    • a) $a\geqq0$ のとき、$|a|=a$ であるから \[(左辺)=|a|^2=a^2=(右辺)\]
    • b) $a\lt0$ のとき、$|a|=-a$ であるから \begin{align}(左辺)&=|a|^2=(-a)^2\\&=a^2=(右辺)\end{align}
    以上a)、b)より、$|a|^2=a^2$ が成り立つ。
  1. 右欄外の表のように、4つの場合に分けて考える。
    • 1) $a\geqq0$、$b\geqq0$ のとき
      $ab\geqq0$、$|a|=a$、$|b|=b$ であるから \[(左辺)=|ab|=ab\] \[(右辺)=|a||b|=ab\] となり成立。
    • 2) $a\geqq0$、$b\lt0$ のとき
      $ab\leqq0$、$|a|=a$、$|b|=-b$ であるから \[(左辺)=|ab|=-ab\] \[(右辺)=|a||b|=a(-b)=-ab\] となり成立。
    • 3) ii)の証明において、$a$ と $b$ を入れ替えればiii)の証明になっているので、成立する。
    • 4) $a\lt0$、$b\lt0$ のとき
      $ab\gt0$、$|a|=-a$、$|b|=-b$ であるから \[(左辺)=|ab|=ab\] \[(右辺)=|a||b|=(-a)(-b)=ab\]
    以上より、いずれの場合も $|ab|=|b|$ が成り立つ。
  2. まず、 $\left|\dfrac{1}{b}\right|=\dfrac{1}{|b|}\tag{1}\label{zettaiti1}$ であることを示す。
    • a) $b\gt0$ のとき
      $\dfrac{1}{b}\gt0$、$|b|=b$ であるから \[(\eqref{zettaiti1}の左辺)=\left|{\dfrac{1}{b}}\right|=\dfrac{1}{b}\] \[(\eqref{zettaiti1}の右辺)=\dfrac{1}{|b|}=\dfrac{1}{b}\] となり成立。
    • b) $b\lt0$ のとき
      $\dfrac{1}{b}\lt0$、$|b|=-b$ であるから \[(\eqref{zettaiti1}の左辺)=\left|{\dfrac{1}{b}}\right|=-\dfrac{1}{b}\] \[(\eqref{zettaiti1}の右辺)=\dfrac{1}{|b|}=\dfrac{1}{-b}=-\dfrac{1}{b}\] となり成立。
    以上a)、b)より $\eqref{zettaiti1}$ が成立。これより \begin{align} \left|{\dfrac{a}{b}}\right|=&|{a\cdot\dfrac{1}{b}}|\\ =&|a|\left|{\dfrac{1}{b}}\right|\\ =&|a|\dfrac{1}{|b|}\\ =&\dfrac{|a|}{|b|}\\ \end{align} となり、$\left|{\dfrac{a}{b}}\right|=\dfrac{|a|}{|b|}$ が成り立つ。

絶対値の性質

$a$、$b$に関して次の等式が成り立つ。ただし、3では$b\neq0$とする。

  1. $|a|^2=a^2$
  2. $|ab|=|a||b|$
  3. $\left|\dfrac{a}{b}\right|=\dfrac{|a|}{|b|}$

吹き出し絶対値の性質

絶対値に関するこれらの等式は、式変形の方法の1つとしてこれからよく用いる。初めは、

  1. は2乗すると絶対値は外れる(付く)
  2. は掛け算のところで絶対値は切れる(つながる)
  3. は割り算のところで絶対値は切れる(つながる)
のように記憶するとよい。