実数

さきほどの有理数の話から、数直線上にはびっしりと有理数が詰まっていることがわかった。では、今度は逆に、数直線上の点で表される値のすべてが、有理数として表せるのかについて考えてみよう。

無理数を数直線で表した図

たとえば、2辺の長さがそれぞれ $1$ である直角二等辺三角形の斜辺の長さ $x$ は、三平方の定理より \begin{align}&1^2+1^2=x^2\\{\Leftrightarrow}&x^2=2\end{align} すなわち、$x=\sqrt{2}$ で表される値であるが、これは下の図のように数直線上の点として表すこともできる。

では、この点に対応する有理数はあるのか、つまり、$\sqrt{2}$ は有理数なのだろうか。 それを次の例題で確認しよう。

この例題からわかるように、数直線上の点として表されるような値でも、有理数ではない数が存在する。そして、その数を無理数 (irrational number) という。

$\sqrt{2}$ は、$2$ 乗して $2$ になる正の数である。$1^2=1$、$2^2=4$ であるから $\sqrt{2}$ は $1$ と $2$ の間にある。ここで、$1.4^2=1.96\lt2$、$1.5^2=2.25\gt2$ であるから \[1.4\lt\sqrt{2}\lt1.5\] がいえる。さらに、$1.41^2=1.9881\lt2$、$1.42^2=2.0164\gt2$ であるから \[1.41\lt\sqrt{2}\lt1.42\] がいえる。同じようにして \[1.41421\lt\sqrt{2}\lt1.41422\] などがいえ、$\sqrt{2}$ にいくらでも近い有限小数を次々に求めることができる。

これを限りなく繰り返すとき、両辺に現れる無限小数 \[1.4142135623\cdots\] は $\sqrt{2}$ を表すと考えられ、この小数は循環することがない。もし、循環してしまうと $\sqrt{2}$ が有理数になってしまう。

なお、無理数の近似値を筆算によって求める方法については、『付録』を参照せよ。

数直線上の点として表される数、すなわち有理数と無理数をあわせた数を実数 (real number) という。

有理数と無理数を考えることにより、数直線上の点はすきま無くみっちり埋まる。

たとえば \[-\sqrt{23},~-2\sqrt{3},~5\sqrt{2},~\sqrt{987}\] などは、どれも無理数である。また \[\begin{align} \text{円周率}~&\pi=3.1415926\cdots\\ \text{ネイピア数}~&e=2.7182818\cdots \end{align}\] も無理数であることが知られている。

今後、$a$、$b$、$x$ など、文字で数を表すとき、特にことわりが無ければ、その数は実数であるとする。

以上見てきたいろいろな数について、まとめると次のようになる。