球の体積と表面積

ここでは、球とその切り口に現れる円の計量について考えていこう。

球の表面積と体積

球の体積

球の体積について考えるため、まず次の例題を解いてみよう。

球と円柱

右の図において、円柱から半球 $\text{T}$ を除いた図形を $\text{S}$ とする。 $0\lt{x}\lt{r}$ のとき

高さ $x$ の水平面で $\text{S}$ を切ったときの、切り口に現れる小さい方の円の半径を求めよ。
高さ $x$ の水平面による、 $\text{S}$ の断面積を求めよ。

球と円柱の解答

底面に垂直な平面で立体を半分に切れば、左の断面図となる。高さ $x$ の平面による半球 $\text{T}$ の切り口は、左図の線分 $\text{HA}$ を半径とした円になるので、線分 $\text{HA}$ の長さを求めればよい。
よって、求める長さは $\text{HA}=\sqrt{\text{OA}^2-\text{OH}^2}=\boldsymbol{\sqrt{r^2-x^2}}$
求める面積は「高さ $x$ の平面による円柱の切り口の面積」（これは半径 $r$ の円）から「高さ $x$ の平面による半球 $\text{T}$ の切り口の面積」（これは半径 $\sqrt{r^2-x^2}$ の円）を引けばよいので、求める面積は $\begin{align} &\pi r^2-\pi\left(\sqrt{r^2-x^2}\right)^2\\ =&\pi r^2 -\pi(r^2-x^2)\\ =&\boldsymbol{\pi x^2} \end{align}$

（注）

一般に、2つの立体について、どの高さに対する切り口の面積も等しいならば、これら2つの立体の体積は等しいことが知られている。上の例題において、底面の半径 $r$ 、高さ $r$ の円錐を逆さにしたものを $\text{U}$ とすると、高さ $x$ における $\text{U}$ の断面積は $\text{S}$ と等しく ${\pi}x^2$ になる、つまり、 $\text{S}$ と $\text{U}$ は体積が等しく $\begin{align} &（半球\text{T}の体積）\\ =&（円柱の体積）-（\text{U}の体積）\\ =&\pi r^3 -\dfrac{1}{3}{\pi}r^3=\dfrac{2}{3}{\pi}r^3 \end{align}$ と計算できる。この $\text{T}$ の体積を $2$ 倍して、半径 $r$ の球の体積 $\dfrac{4}{3}{\pi}r^3$ を得る。

球の体積

半径 $r$ の球の体積 $V$ は、 $V=\dfrac{4}{3}{\pi}r^3$ である。

球の表面積

まず、中心 $\text{O}$ 、半径 $r$ の球の体積と表面積の関係について考えてみよう。

球の表面に小さい三角形を描き、その $3$ 頂点と球の中心 $\text{O}$ を結ぶと三角錐ができあがる。今度は、その三角形の一辺を使ってまた別の三角形を描き、頂点と中心 $\text{O}$ を結ぶと別の三角錐ができあがる。このような操作を繰り返していけば、球全体を三角錐の集まりとして分割することができる。

球の表面積

球体である地球の地面を、通常私たちは平らであると感じている。つまり、球の表面に描く三角形も十分に小さければ、平らであると扱ってもよいだろう。すると、球体は三角錐の集まりとして扱ってもよいだろう。また、このときひとつひとつの三角錐は大変細長いものとなるので、その高さはすべて $r$ と考えてもよいだろう。

すべての三角錐の体積が $\dfrac{1}{3}\times（底面積）\times（高さ）$ であるから、三角錐の体積の和は、 $\dfrac{1}{3}\times（底面積の和）\times（高さ）$ となる。三角錐の底面積の和は球の表面積と考えてよいので、半径 $r$ の球の体積を $V$ 、表面積を $S$ とすると、 $V=\dfrac{1}{3}Sr$ である。『球の体積』より $V=\dfrac{4}{3}{\pi}r^3$ なので $\dfrac{4}{3}{\pi}r^3=\dfrac{1}{3}Sr~~\therefore~S=4{\pi}r^2$ である。

球の表面積

半径 $r$ の球の表面積 $S$ は、 $S=4{\pi}r^2$ である。

球の表面積、体積

半径 $4\text{cm}$ の球の、表面積と体積をそれぞれ求めよ。
1辺 $8\text{cm}$ の立方体の表面積と直径 $10\text{cm}$ の球の表面積では、どちらが大きいか。
1辺 $10\text{cm}$ の立方体に高さ $9\text{cm}$ まで水を入れてある。この水の中に半径 $3\text{cm}$ の球を静かに入れると、何 $\text{cm}^3$ の水があふれるか。ただし、表面張力は考えない。

球の表面積、体積の解答

- 表面積は $4\pi\cdot4^2=\boldsymbol{64\pi\text{cm}^2}$
- 体積は $\dfrac{4}{3}\pi\cdot4^3=\boldsymbol{\dfrac{256}{3}\pi\text{cm}^3}$
1辺 $8\text{cm}$ の立方体の表面積は、 $6\times8^2=384\text{cm}^2$
直径 $10\text{cm}$ の球の半径は $5\text{cm}$ なので、表面積は $\begin{align} 4\pi\cdot5^2=&100\pi\\ \fallingdotseq&100\times3.14\\ =&314\text{cm}^2 \end{align}$ よって、1辺 $8\text{cm}$ の立方体の表面積の方が大きい。
水中に入れた球の体積は $\dfrac{4}{3}\pi\cdot3^3=36\pi\text{cm}^3$ なので、水の体積と球の体積の和は $10\cdot10\cdot9+36\pi=900+36\pi\text{cm}^3$ である。実際には $10^3=1000\text{cm}^3$ しか入らないので、あふれる水の体積は $(900+36\pi)-1000=\boldsymbol{36\pi-100\text{cm}^3}$

円錐と内接球

底面の半径が $4$ 、母線の長さが $10$ の円錐がある。

この円錐に内接する球 $O_1$ の半径を求めよ。
球 $O_1$ の上に外接し、さらに円錐に内接する球 $O_2$ の半径を求めよ。

ただし、球

$O_1$ 、

$O_2$ とも、半径はできるだけ大きくなるようにする。

円錐と内接球

円錐の頂点を $\text{A}$ 、球 $O_1$ 、 $O_2$ の中心をそれぞれ $\text{P}$ 、 $\text{Q}$ とし、 $\text{A}$ から底面に下ろした垂線の足を $\text{H}$ とする。このとき、線分 $\text{AH}$ は $\text{P}$ 、 $\text{Q}$ を通る。

直線 $\text{AH}$ を含むように、この立体図形を縦に垂直に切る。すると、断面図は右図のようになり、球 $O_1$ の断面は、 $\triangle\text{ABC}$ の内接円になる。
$\triangle\text{ABC}$ の面積を $S$ 、球 $O_1$ の半径 $r_1$ とすると $S=\dfrac{1}{2}(10+10+8)r_1\tag{3}\label{kyunohyomenseki}$ が成り立つ。
面積 $S$ は、 $\text{AH}=\sqrt{10^2-4^2}=2\sqrt{21}$ より $S=\dfrac{1}{2}\cdot8\cdot2\sqrt{21}=8\sqrt{21}$ であるので、これを $\eqref{kyunohyomenseki}$ に代入して $\begin{align} 8\sqrt{21}&=\dfrac{1}{2} (10+10+8)r_1\\ \therefore~~ r_1&=\dfrac{8}{14}\sqrt{21}=\boldsymbol{\dfrac{4}{7}\sqrt{21}} \end{align}$
1と同じ断面を考え、右図のように $\text{E}$ をとると $\triangle\text{AQE}\sim\triangle\text{ACH}$ である。
よって、球 $O_2$ の半径を $r_2$ とすれば $\begin{align} &\text{AQ}:\text{QE}=\text{AC}:\text{CH}\\ &\left(\text{AH}-2r_1-r_2\right):r_2=10:4=5:2\\ &2\left(2\sqrt{21}-\dfrac{8}{7}\sqrt{21}-r_2\right)=5r_2\\ &\dfrac{12}{7}\sqrt{21}=7r_2\\ &\therefore~r_2=\boldsymbol{\dfrac{12}{49}\sqrt{21}} \end{align}$