関数とは何か

$3~l$ の水が入っている水槽の中に毎分 $2~l$ の割合で水を入れたとする。

水を入れてから経過した時間が$x$分とすると、水槽の中の水の量 $y~l$ は \[y=2x+3\] と計算することができる。

また、正方形の一辺の長さを $x~\text{cm}$ とすると、その面積 $y~\text{cm}^2$ は \[y=x^2\] と計算することができる。

このように、「$x$ の値を決めるとそれに応じて $y$ の値がただ1つだけ決まる」とき、$y$ は $x$ の関数 (function) であるという。

$y$ が $x$ の関数であるということを、一般的に \[y=f(x)\] などと表す。関数 $y=f(x)$ において、$x$ の値が $a$ であるとき、対応する $y$ の値を $f(a)$ で表し $f(a)$ を $x=a$ のときの関数 $f(x)$ の値という。

たとえば、$f(x)=2x^2−3x+4$ のとき \[f(1)=2\cdot 1^2-3\cdot 1+4=3\] \[f(a)=2\cdot a^2-3\cdot a+4=2a^2-3a+4\] である。